Тема: «Формулы объёма призмы, цилиндра. Формулы объёма пирамиды, конуса. Формула объёма шара»

Урок 31­32 Тема: «Формулы объёма призмы, цилиндра. Формулы объёма пирамиды, конуса. Формула объёма шара» Ц е л ь :  сформировать   навык   решения   задач   на   нахождение   объема параллелепипеда. Х о д   у р о к а I. Устная работа. 1. Что называется объемом тела? 2. Чему равен объем куба? Его десятой части? 3.   Куб   пересечен   двумя   диагональными   сечениями.   Чему   равен   объем каждой его части? 4.  В   кубе   с   ребром  2   см   проведено   диагональное   сечение.   Чему   равен объем каждой из полученных частей? 5. Площадь полной поверхности куба 24 см2. Чему равен объем куба? 6. Диагональ куба равна a. Найдите его объем. 7. Объем куба V. Найдите его диагональ. 8. Диагональ грани куба равна 8. Чему равен объем куба? 9. Объем куба равен 8 см3. Чему равна площадь диагонального сечения?  10.   Объем   наклонной   призмы   равен   27   см3.   Чему   равно   ребро равновеликого ей куба? II. Объяснение нового материала.  Куб – частный случай прямоугольного параллелепипеда. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда? Объем   прямоугольного   параллелепипеда   равен   произведению   трех   его измерений.   V abc  .   Или   объем   прямоугольного   параллелепипеда   равен произведению площади основания на высоту.  V S  осн  H . B 1 B A 1 A C 1 C D 1 D Основание   прямой   призмы   – прямоугольный треугольник. Докажите, что ее   объем   равен   произведению   площади основания на высоту.A 1 D 1 C 1 B 1 A D C B B 1 E 1 B A 1 A E D C 1 D 1 C Основание   прямой   призмы   – произвольный   треугольник.   Докажите,   что ее   объем   равен   произведению   площади основания на высоту. Произвольная прямая призма. Докажите, что ее объем равен произведению площади основания на высоту. Таким   образом   объем   прямой   призмы   равен   произведению   площади V  S осн  H основания на высоту.  пр призмы 1  3  H V пирамиды призмы  S V осн . 1  3 S осн  H . S  H V . конуса осн 4 3 πR3. 1. Объем шара радиуса R равен  Доказательство см. п. 82–83. 2.   Шаровым   сегментом   называется   часть   шара,   отсекаемая   от   него плоскостью (рис. а, в). а) б) в) Объем   шарового   сегмента   определяется формулой  V  =  πH2  шарового сегмента. R  H  3 ,   где  H  –   высота 3.   Шаровым   слоем   называется   часть   шара, расположенная   между   двумя   параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. б). 4. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса. а) б) Объем   шарового   сектора   определяется формулой  V  =   соответствующего шарового сегмента. 2 3 πR2H,   где  H  –   высота   III. Решение задач.  № 653. B 1 1 8 B C 1 C D 1 4 5 ° 3 0 ° D A 1 A Д а н о :  ABCDA1B1C1D1  – прямоугольный   параллелепипед.  B1D  = 18 см,  B1DD1 = 45°,  B1DC1 = 30°.   Найти V. Р е ш е н и е 1. V = abc. 2. Δ B1DC1 – прямоугольный. B1C1 = 18 ∙  sin 30° = 9 см. DC1 = 9 3 см. 3. Δ B1DD1 – прямоугольный. B1D1 = DD1 =  2 DC 4.  Δ  DC1C  –  прямоугольный.  DC  = 1 18 2  = 9 2 см. CC 1  81 3 81 2     81 = = 9 см. 5. V = 9 ∙  9 ∙  9 2 = 729 2 см3. № 729. B 1 B 3 4 C 1 C 5 3 D 1 D A 1 4 A ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед, BD1  A1C1, BD1 = 6, A1C = 8, AB = 3. Найти V. Р е ш е н и е 1. A1BCD1 – ромб, D1C = 5. 2. DD1 = 4 из Δ DD1C. 3. BD = 2 5  из Δ BD1D. B 3 α C 2     5 A 5 D 4 11 15 sin α = (sin 2 α   1 cos 2 α ) . 4. По теореме косинусов: (2 5) 2 3 5 cosα      2 2 5  2 3 7 15 . cos α =  .Sосн = AB ∙  AD sin α,  Sосн = 3 ∙  5 ∙   5. V = Sосн ∙  H, V = 4 11 4 16 11 З а д а ч а   3.  Чему     . 4 11 15  4 11 .   равен   объем   шарового   сектора,   если   радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?  Р е ш е н и е 1.   Под   основанием   сектора   в   задаче   понимается   основание соответствующего   сектору   сегмента.   Пусть  R  –   радиус   шара,  r  –   радиус основания сегмента. 2. Наша задача сводится к отысканию высоты этого сегмента: H = PO1. OP – радиус шара, перпендикулярный основанию сегмента. 3. Из прямоугольного треугольника OO1M ( MO1O = 90°) найдем: 2 OO1  = OM O M  = OP – OO1 = R – OO1 = 75 – 45 = 30. R   2 2 2  r 1 P O 1 H M 2 75  2 60 =   45,  поэтому  H   =  PO1  = O 1 O R H O               а)                                 б)            4. Объем шарового сектора. 2 3 πR2H = 2 3 π 752 ∙  30 = 112 500π см3. V = Домашнее задание: №№ 701, 707.