Тема урока: Логические законы и правила преобразования логических выражений.

Тема урока: Логические законы и правила преобразования логических выражений. Цели урока:  научиться применять законы алгебры логики для упрощения выражений;  развивать логическое мышлении;  прививать внимательность Ход урока. 1. Актуализация опорных знаний  Перечислим наиболее важные из них: 1. X  X Закон тождества.  2. 3. 4. Закон противоречия  Закон исключенного третьего  Закон двойного отрицания  5. Законы идемпотентности: X  X  X, X  X  C  6. Законы коммутативности (переместительности): X  Y  Y  X, X  Y  Y  X  7. Законы ассоциативности (сочетательности): (X  Y)  Z  X  (Y  Z), (X  Y)  Z  X  (Y Z)  8. Законы дистрибутивности (распределительности): X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z), X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z)  9. Законы де Моргана  ,  10. X  1  X, X  0  X  11. X  0  0, X  1  1  1­й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества  утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на  протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует. Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно  одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”. Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5  либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание. Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого­нибудь высказывания ­ то же, что  утверждать это высказывание. “ Неверно, что 2*2<>4”  Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов.  Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них. Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны  одноименным знакам умножения и сложения чисел. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по  отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции,  но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции. Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806­1871) ­ шотландский математик и логик)  можно выразить в кратких словесных формулировках: ­ отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний  ­ отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний  множителей. слагаемых. I. Подача нового материала. 12. Законы поглощения: X  (X  Y)  X, X  (X  Y)  X  13. Законы склеивания: (X  Y)  (  Y)  Y, (X  Y)  (  Y)  Y  Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей: 1. (  (X+Y) *(  +Y)  X*  + Y*  + Y*Y+ X*Y  Y*  + Y + X*Y  Y*  (X  Y)  + Y(1+X)  Y*  +Y  Y(  +1)  Y склеивания  Y)  2. X  (X  Y)  X*X+X*Y  X+X*Y  X(1+Y)  X поглощения  П. Практическая часть 1. Упрощение формул. Пример 1. Упростить формулу (А+В)∙* (А+С) Решение. 1. Раскроем скобки ( A + B ) * ( A + C )  A * A + A * C + B * A + B * C  2. По закону идемпотентности A*A  A , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*C  A + A*C + B*A + B*C  3. В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+1  1, получим  А+А*С+ B*A + B*C  A*( 1 + С) + B*A + B*СA + B*A + B*С  4. Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А. A + B*A + B*С  A ( 1 + B ) + B С  A + B*С Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.  2. Преобразования “поглощение” и “склеивание” Пример 2. Упростить выражение А+ A*B  Решение. A+A*B  A ( 1 + B )  A ­ поглощение Пример 3. Упростить выражение A*B+A*  Решение. A*B + A*  A ( B +  )  A ­ склеивание 3. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных  высказываний ­ все отрицания будут применяться только к простым высказываниям. Пример 4. Преобразовать формулу  так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний. Решение.  1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:  2. Для выражения  применим еще раз формулу де Моргана, получим: 4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут  использованы:      знаки логического сложения;  знаки логического умножения,  будут использованы:  знаки отрицания и логического умножения  знаки отрицания и логического сложения.  Пример 5. Преобразовать формулу  так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения. Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана. . Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие логические  функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом одной из них обязательно  должно быть отрицание.