Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема о трёх перпендикулярах
A B C АВ — перпендикуляр к плоскости
α
A
B
C
АВ — перпендикуляр
к плоскости
АC — наклонная
CB — проекция
АB — расстояние
от точки до плоскости
α A B C
α
A
B
C
Теорема Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной
Теорема
Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно
к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной
Теорема Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной
Теорема
Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной
Дано:
AB ⏊ α
α
A
B
C
D
АС — наклонная к α
ВС — проекция АС
СD ∈ α,
Доказать: CD ⏊ AC
CD ⏊ BC
AB ⏊ α
1) CD ⏊ BC
⇒ AB ⏊ CD
2) CD ⏊ AB, CD ⏊ BC
AB, BC ∈ (ABC) ⇒
⇒ CD ⏊ (ABC)
Доказательство:
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
⇒ CD ⏊ AC
Теорема доказана
Теорема о трёх перпендикулярах
Обратная теорема Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции
Обратная теорема
Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно
к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции
Обратная теорема Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции
Обратная теорема
Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции
Дано:
AB ⏊ α
α
A
B
C
D
АС — наклонная к α
ВС — проекция наклонной АС
СD ∈ α
Доказать: CD ⏊ BC
CD ⏊ AC
Задача 1 Дано: ∆ ABC — равнобедренный
Задача 1
Дано:
∆ ABC — равнобедренный
AD ⏊ (ABC)
A
C
B
AB = АC = 5 см
5
ВС = 6 см,
AD = 12 см
D
5
12
6
Найти: расстояние от концов отрезка AD до прямой ВС
Решение:
1) AE ⏊ BC
AE — расстояние от А до BC
2) ΔАВС — равноб. ⇒
⇒ АЕ — высота и медиана ΔАВС ⇒
3) ∆АЕС — прямоуг. ⇒
4) BC ⏊ AE, AD ⇒
BC ⏊ DE
E
Дано: BD ⏊ (ABC) ВD = 9 см, АС = 10 см
Дано: BD ⏊ (ABC)
ВD = 9 см, АС = 10 см
A
C
B
D
10
13
13
9
Задача 2
ВС = ВА = 13 см
Найти:
б) SACD
a) расстояние от точки D до прямой AС
1) BE ⏊ AC
Решение:
2) ΔАВС: BЕ — высота и медиана ΔАВС ⇒
⇒ СЕ = ЕА = 5 см
3) BD ⏊ AC,
ВЕ ⏊ АС ⇒
DЕ ⏊ АС
5) ∆ACD: AC — основание, DE — высота ⇒
Ответ: DE = 15 см, SACD = 75 см2
E
Молодец!
Молодец!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
