Уравнения высших степеней.
Оценка 4.7

Уравнения высших степеней.

Оценка 4.7
Разработки уроков
doc
математика
10 кл
17.01.2017
Уравнения высших степеней.
1. Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения на множители, каждый из которых является многочленом не выше второй степени. Тогда, приравнивая каждый из них к нулю и решая все эти квадратные и / или линейные уравнения, мы получим все корни исходного уравнения.
уравн высшей степени.doc
Уравнения высших степеней Уравнения высших степеней, приводимые к квадратному.   Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение. 1. Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное  уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения на множители, каждый из  которых является многочленом не выше второй степени. Тогда, приравнивая каждый из них к  нулю и решая все эти квадратные и / или линейные уравнения, мы получим все корни  исходного уравнения. П р и м е р .  Решить уравнение:  3x 4 + 6x 3 – 9x 2  = 0 .  Р е ш е н и е. Разложим левую часть этого уравнения на множители:  x 2( 3x 2  +  6x –  9 )=0           Решим уравнение:  x2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 .           Теперь решим уравнение: 3x2 + 6x – 9 = 0,  и получим:   х3= 1  и  x4= – 3            Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: x1 = x2= 0;  x3 = 1;  x4 = – 3 .  2. Если уравнение имеет вид:  ax2n + bxn +  c = 0, оно приводится к квадратному уравнению  заменой:     xn = z; действительно, после этой замены получаем:   az2+ bz + c = 0 .  П р и м е р .  Рассмотрим уравнение:    x4 – 13 x2 + 36 = 0 .                        После замены:  x2= z  получим уравнение:  z 2 – 13 z + 36 = 0 .                        Его корни:  z1 = 4  и  z2 = 9. Теперь решаем  уравнения:                                                                            х2 = 4  и  x2 = 9 . Они имеют соответственно корни:                        x1 = 2 ,  x2 = – 2 ,   x3 = 3 ;   x4 = – 3 .  Эти числа являются                        корнями исходного уравнения (проверьте, пожалуйста!). П р и м е р .  Решить биквадратное уравнение:  3x4 – 123x2 + 1200 = 0 .  Р е ш е н и е .  Заменяя:  x2 = z ,  и решая уравнение:  3z2 – 123z + 1200 = 0, получаем:                                отсюда,  z1 = 25 и  z2 = 16.  Используя нашу замену, получим:  x2 = 25 и  x2 = 16,  отсюда,  x1 = 5,  x2= – 5,  x3= 4,  x4 = – 4. 1 3. Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:  ax3 + bx2 + cx + d = 0  1. Решаются группировкой x 2   7 2 0    x 0 x 7    x xx 1 7    2 x 72 x 0   1  0  2 0 2 2 3 3  x 7 x 2    x 1 2    2 x 1 x 2    21 x x   01 x   2 x 5 x 2    1 x  1   2  2    x x 2. Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и почти не  применяются на практике. Поэтому мы рекомендуем  другой путь для решения уравнений  третьей степени.    1). Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические  уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень  кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена  d.  Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди  небольших целых чисел, таких как:  0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди  этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком  подходе очень высока. Предположим, что этот корень  x1. 2).Вторая стадия решения – это деление многочлена  ax3+ bx2+ cx+ d на двучлен  x – x1.  Согласно теореме Безу (см. раздел «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление  без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо  приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!)  оставшиеся два корня.  П р и м е р .  Решить уравнение:  x3– 3x2 – 13x + 15 = 0 . Р е ш е н и е .  Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3                           и подстановкой в уравнение. В результате находим,                           что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого                           уравнения на двучлен  x – 1,  и получаем:                         Теперь, решая квадратное уравнение: x2 – 2x – 15 = 0,  2 находим оставшиеся два корня:  x2 = – 3  и  x3 = 5 . 4. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения. 1.      x  1 2    1 x    x  2    3 2 x                             О.Д.З.  x x     0  1 x  1 ( x 2)  t ,  0t             t 1  t 3 2 ;  2 2 t  3 t  0 2           t t   2 1 2     т.е.  t  ,2    x  1 2    2 x       x x 2.  1 2  x  x  2  1 2    3 x   3  x 2    .. . 2 xЗДО              Решая эти уравнения, находим,     x x    2 2 2 2   168  x x   3 2 2    46 2 2 x x   9 4  0 Разделив обе части уравнения на      x x   2 2    168   x x   3 3     x x   2 2 x x 2 2  0        3x  , получим 9 4  46  0       x x 3   x x   3 t    3 3   3   3 168 t 46 t x x   2 2    , tt 0  46  0 2 3 t   168  0           t t       6 28 3 , òîãäà                x x x x     3 3 3 3         x x x x     2 2 2 2      6  28 3                  x x x x     1 6 6 5 5 Затем, непосредственной проверкой убеждаемся, что  3x  не являются корнями данного уравнения. уравнения. 5.   Уравнения   вида:    xbxax      dxc   m   приводятся   к   квадратному,   если  dc ba   ).1  2 x x    (или a+c=b+d или a+d=b+c)   3 x   1 x  6  96 т.к.2+1=­3+6, то можно сгруппировать множители   x  2 x 2 x     x 2 1    2 x 3  x t 3      тогда   3 6 x   x 18 3 96     x  2    x   96  t t 2  2 t t 16    18 60  0 96 3    t t   6 10  ,       x x 2 2   3 3 x x 6 10 решив эти уравнения, получим  33 x 2,1  x 4,3  3  2  73 2 bxax     bx   dxc   2mx   приводят   к   квадратному,   если ad  ) bc  2 x  4 2    bd  x 8 6.   Уравнения   вида:    ac  или  ab  (или  cd    x 2 3 12 ).1 x x  122 83    2 x 14 x   2 x x 14 x 24 x 24 x 3 11 x 11 x x  x x  24 24 24 x     11 14          3 t     x x 2 2 24 24  11  t x   tt                                                       04 ;4  t   4  2 ,4 xктx ..    4  ,0 то 4 t t   1           x  x  24 x 24 x  11 4  1 11     x x x          15  2   6 4 129 7. Уравнения вида: ax  nx   q bx  qmx  2 px 2 px  t     1) если с=0, то х1=0 и дальнейшее решение приводится к решению квадратного уравнения относительно x.   2) если с0, х 0  тогда числитель и знаменатель каждой дроби можно разделить на x. b mpx   c q x a px  n  q x px  t q x         тогда  a  t n  b  mt  c 2  x 5 x  3  13  2 x x  0 ,6 x 3 2 x 13  1  2 x  6 3 x a ) 2 2 x 2 2 x 2 x 5  3 x  t 3 x 13 t 2 2 t  t 1  ;1 t 2  0 11 11 2  , тогда 2  5 t  13  1 t  6  ,5 t t       2 x 2 x       1  1  3 x 3 x 11 2         2 4 x x 2 2   6 x 11 x 3 0  x  0    x    т.е.  2 3 4  8. Уравнения вида:  ax  4    bx  4   c  приводятся к биквадратному заменой:  y  x ba  2 , тогда  x  y ba  2 4   ).1 x  x t   4  1 t 4  x  6 ,5   тогда   4 t 1  4 4  82  82            после упрощения  4 t  t 6 2  40  0 2 2     t t  4  10    т.к.  2 2 t t t  0  4 тоR ,           t t  2  2        x x   3 7 9. Теорема: Целые корни уравнения     свободного члена.  n  ­й степени могут быть только среди делителей 3 x  2 x   1 3 x  0 2 x  3 4 3 2 x x ,2;1 ,1    x  02     0211 0                 т.е.  x x 2 x  4 3 2 x 3   ).1 x x   2 2   x  ;1 23111,1 2 x  0 2 x  3 x  2  1 x  x 2 3 x 4  4 x  2 2 x  x  x 3  x  3 x x 3  x 2 2 x  x  2 2 0 2 2  1 x  x 2 2 x тогда  2 x  ,02 x  етD .. ,0 действительных корней нет.   Ответ: ­1 3  3 x x x x x   2 2 x  x 2 x  2  x 2 x     2  0 10. Искусственное увеличение свободного члена. 6).1 x 4  3 x  5 x 2  ,01 x xкт ..  ,1 то 6   1 x 5 2 x  1 3 x 1 x  t , тогда   0 1 4 x  53 t t   6;3;2;1 t  06 4 t 6 t=2, 8+16­20+2­6=0 ( t ( t ( t    т.к.  3 2 2  )3  )3 0  )(2 t 0 3 t    )(2 t 3 t    2 )2 t 3 t  012 t t  t  1 тоR ,  3 t t   0  ,0 t 3 5  Следовательно:   t t  2      3 Ответ: ­1/3; 1/2       1 x 1 x  2  3      1 2        x x 1 3 11. Уравнения четной степени: 4 ax  3 bx  2 cx  bx  0 a   0x . Делим на x² 2 ax  bx  c   xa  2  1 2 x    a b 2 x x    xb  1 x  0    c 0 x  1 x 2 , xy  1 2 x 2  y 2 тогда уравнение сводится к квадратному   ya 2  2 4 6 x  3 35 x  2 62 x  35 x  06 … Oттве : 1 3 ; Уравнения вида:  1 2  by  c ...0 3;2; 4 ax  3 bx  2 cx  kbx  2 ak  0  a  0 называются обобщенными возвратными 4­й степени. Замена:  x  k x y 4 6 x  3 5 x  38 x 2  10 x  24 ,0 x  0 2 6 x  5 x  38   5 2 x  6 4 2 x 0 x  2 y y 2 x  6  2 y 2 y 4  2 y   5 4 y ,4 тогда  0 38   6  2 x  4 2 x      5  x  2 x    38  0 6 2 y  y 5  14 0 y y     2  7 6            x x 2 y 2 x   7 6 2         x 6 2 x  2  2 x 7  2 0  12 x 0     x x       1  7  3 337 12 Решите самостоятельно  1.   10 x 3  2 3 x  2 x  01                            Ответ: ­1/2 2.     6 x 4  3 35 x  2 62 x  35 x  0 6       ответ:  1 3 ; 1 2 3;2; 3.     х3+4х2+х­6=0   ответ 1;  ­2;  ­3  4.    5х3+21х2+21х+5=0 5.    3х4+5х3­14х2­10х+12=0     6.   (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=360     ответ 2; ­7 6 7.   х3­4х2+х +6=0              ответ ­1; 3;  2 8.   х(х+1)(х+2)(х+3)=24 9.  (х­4)(х2+15х+50)(х­2)=18х2 10.    х4+х3+2х2­х­3=0     ответ 1; ­1 11.    х4+ 1 3 x 2  5 2 x  0 3    ответ  ­1;  1,5 12.   х4­х3­5х2+12=0             ответ х=2 13.   х4+х3+х2+3х+2=0      ответ ­1 14.    2 x x 2   10 x x 6  15  15  2 x  x 3 8 x  15    ответ 7 34 15.   х2+ 2 81 x  x 9( =40   2 ) 7

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.

Уравнения высших степеней.
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
17.01.2017