Урок_6_Теорема, обратная теореме Виета_План урока

Раздел долгосрочного плана:

8.2A: Квадратные уравнения

Школа:

Дата

Имя учителя:

Класс: 8

Количество присутствующих:

Тема урока

Теорема, обратная теореме Виета

Урок №6 серии из 7 уроков

Тип урока

Урок изучения нового материала

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

8.2.2.4

применять теорему Виета

Цели урока

Учащиеся знать теорему, обратную теореме Виета, будут применять прямую и обратную теоремы при решении задач.

Кр­­­­итерии оценивания

Языковые цели

Учащиеся будут комментировать решение заданий; оперировать предметной лексикой и терминологией данного раздела.

Предметная лексика и терминология:

Квадратное уравнение

коэффициент

сумма корней

произведение корней

тот же знак

противоположный знак

Серия полезных фраз для диалога/письма

Сумма квадратов корней.

Квадрат суммы корней.

Применим формулу суммы кубов двух выражений.

Возведем в квадрат обе части равенства.

Сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения можно выразить через его коэффициенты.

Корни данного квадратного уравнения одного знака, так как … .

Корни данного квадратного уравнения разных знаков, так как… .

Привитие ценностей

Навыки самостоятельного обучения, сотрудничество.

Привитие ценностей осуществляется через деятельность на уроке.

Межпредметные связи

Физика, и другие науки естественно-математического цикла

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.

Первоначальные знания

Учащиеся знают понятие квадратного уравнения, умеют решать квадратные уравненияс помощью формулы корней, знают теорему Виета.

Ход урока

Этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

1 мин

2 мин

Организационный момент

Сообщение темы и цели урока

Проверка домашнего задания

Взаимопроверка работ.

Презентация

Слайды 1-2

Середина урока

20 мин

10 мин

10 мин

Изучение нового материала

1. Повторить формулировки теоремы Виета для приведенного и не приведенного квадратных уравнений.

Попросить учащихся переписать эти формулировки, используя слова «если» и «то»:

Если числа m и n являются корнями уравнения

, то их сумма равна  -р, а произведение равно q.

Если числаm и nявляются корнями уравнения ,то их сумма равна  , а произведение равно .

 2. Напомнить учащимся, что во взаимно-обратных утверждениях условие и заключение меняются местами. Попросить их сформулировать теоремы, обратные теореме Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна  -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения .

Для не приведенного квадратного уравнения

теорема, обратная теореме Виета, формулируется так:

если числаm и n таковы, что их сумма равна  ,а произведение равно , то эти числа являются корнями уравнения .

3. Рассмотреть доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

4. Рассмотреть примеры применения теоремы, обратной теореме Виета.

Пример 1.

Выясним, верно ли решено уравнение ,если в ответе получились числа -3 и -5.

Сумма чисел -3 и -5 равна второму коэффициенту данного приведенного квадратного уравнения, взятому с 

противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену:

-3 + (-5) = -8; -3 • (-5) = 15.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа -3 и -5 являются корнями уравнения  .

Пример 2.

Составим квадратное уравнение, корнями которого были бы числа -0,5 и 3,4.

Найдем сумму и произведение чисел -0,5 и 3,4:

-0,5 + 3,4 = 2,9, -0,5 · 3,4 = -1,7.

Напишем приведенное квадратное уравнение, в котором вторым коэффициентом является -2,9, а свободным членом -1,7:

По теореме, обратной теореме Виета, числа -0,5 и 3,4 являются корнями этого уравнения.

Уравнение  сохранит те же корни, если обе его части умножить, например, на 10:

Закрепление нового материала

Работа в парах

Учащиеся выполняют задание одного из вариантов, затем объясняют друг другу свои решения. Если есть ошибки, то они должны быть исправлены.

Вариант 1

1. Решите уравнение по формуле корней и сделайте проверку по теореме, обратной теореме Виета.

2. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются:

а) 3 и 4; б) 3 и -4.

3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются:

а) -а и 2а; б) -а и -2а.

4. Составьте приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен:

а) ; б) .

Вариант 2

1. Решите уравнение  по формуле корней и сделайте проверку по теореме, обратной теореме Виета.

2. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются:

а) -3 и 4; б) -3 и -4.

3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются:

а) а и 2а; б) а и -2а.

4. Составьте приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен:

а) ; б) .

Дескрипторы

- Применяет теорему, обратную теореме Виета

- Составляет уравнение

Работа со всем классом

Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние:

Это урав­не­ние можно ре­шить через дис­кри­ми­нант, но это до­воль­но уто­ми­тель­но.

Под­ме­тим осо­бен­ность этого урав­не­ния. Если вместо х подставить 1,  то по­лу­чим верное равенство 1999 – 1998 – 1 = 0 .

Зна­чит, 1 – это оче­вид­ный ко­рень урав­не­ния.

Но если мы знаем один ко­рень, то легко най­дем и вто­рой ко­рень:

Отсюда,

Ответ: 1, -1/1999.

Итак, мы нашли корни урав­не­ния, применив тео­ре­му Виета.

Да­вай­те по­смот­рим, что нам надо было бы сде­лать, если бы мы за­хо­те­ли ре­шить эту за­да­чу используя формулу корней для четного второго коэффициента:

Попросить учащихся обобщить решение:

Если для коэффициентов уравнения  верноравенство, то один из коней этого уравнения равен 1, а второй корень равен .

Можно ли по виду уравнения определить, когда число -1 является его корнем?

Ответ: Если для коэффициентов уравнения  верно равенство , то один из коней этого уравнения равен -1, а второй корень равен .

Задание.

а) Приведите примеры квадратных уравнений, один из корней которых равен 1 или -1.

б) Предложите однокласснику решить эти уравнения.

в) Проверьте решения.

Учащиеся меняются уравнениями, решают их, затем оценивают друг друга.

Дескрипторы

- Верно составлено уравнение

- Найдены корни уравнения

Слайды 3-6

Слайд 7

Сдайд 8

Приложение 1

Слайды 10-13

Конец урока

2 мин

Домашнее задание

1. Составьте квадратное уравнение,корни которого равны и.

2.а) Определите значения х, при которых верно равенство:

б) Сделайте проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Рефлексия

Учащиеся дают оценку своей работе на уроке. Затем проводится обсуждение мнений учащихся.

Приложение 1

Слайд 14

Дополнительная информация

Дифференциация – как Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащихся?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Более продвинутые учащиеся будут выдвигать и обосновывать идеи, оказывают поддержку одноклассникам.

Учитель будет наблюдать за работой учащихся. Учащиеся будут оценивать свои работы и работы друг друга в парах.

Учащиеся будут менять виды деятельности, что позволит снизить усталость.

Рефлексия

Были ли реализованы цели урока/Ожидаемые результаты реалистичными? Чему сегодня научились учащиеся? Какова была атмосфера в классе? Сработала ли дифференциация? На все ли хватило времени? Какие изменения были внесены в план и почему?

Используйте данный раздел для рефлексии урока. Ответьте на вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об изучении)?

1:

2:        

Какие две вещи могли бы улучшить урок (подумайте как о преподавании, так и об изучении)?

1:

2:

Что я узнал(а) за время урока о классе или отдельных учениках такого, что поможет мне подготовиться к следующему уроку?