Урок алгебры 11 класс. Урок подготовки учащихся к ЕГЭ.

Класс 11  Тема: Решение задач ЕГЭ.  Цели: способствовать подготовке учащихся к ЕГЭ, развивать умения и навыки  решения задач ЕГЭ, развивать логическое мышление учащихся, воспитание интереса  к изучению математики, формирование общеучебных умений, самостоятельности,  формирование математической культуры.  Ход урока.  Организационный момент.   Анализ работ ЕГЭ. I. II. III. Выполнение заданий ЕГЭ.  5. Найдите корень уравнения:  log5(2−х)=1   Решение.  x=−3   ⇒ ⇔{x=−3 x<2 ❑ {2−х=5 2−х>0 ❑ Ответ: ­ 3  6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен  76 ° , угол САD равен 52 ° . Найдите угол ABD. Ответ дайте в  градусах.   Решение.  ∠ABD=∠ABC−∠CAD=76°−52°=24°   Ответ: 24.  6. Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей равна 13.  Найдите высоту конуса.                                                         А               Решение.    АВ=13, ОВ = 24:2 = 12,                                                      О                     В, ОА=√АВ2−ОВ2=√132−122=¿                                   ¿√169−144=√25=5 Ответ: 5.  11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие два  часа – со скоростью 85 км/ч, а затем два часа – со скоростью 50 км/ч.  Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ  дайте в км/ч.  Решение.  Все время движения: 1 + 2 + 2 = 5 ч.  Вся скорость: 120 + 85 + 85 + 50 + 50 = 390 км/ч.  ℧ср.=390:5=78 км ч .   Ответ: 78.  11. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 12% меди. Масса второго  сплава больше массы первого на 6 кг. Из этих двух сплавов получили  третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.  Ответ дайте в килограммах.  (самостоятельно) Решение.  % меди в сплаве масса сплава (кг) I сплав 5% = 0,05 II сплав 12% = 0,12 III сплав  10% = 0,1 х+х+6 х  0,05х х+6 0,12(х+6) 0,1(х+х+6) 0,05x+0,12(x+6)=0,1(x+x+6)   0,05x+0,12x+0,72=0,2x+0,6   0,05x+0,12x−0,2x=0,6−0,72   −0,03x=−0,12   x=−0,12:(−0,03) x=4 приx=4,массатретьегосплавабудетравна14.   Ответ: 14.  11. На изготовление 416 деталей первый рабочий тратит на 10 часов  меньше, чем второй рабочий на изготовление 546 таких же деталей.  Известно, что первый рабочий за час изготавливает на 5 деталей больше,  чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?  (самостоятельно) Решение.  х деталей изготавливает в час первый рабочий, тогда второй рабочий  изготавливает (х – 5) деталей в час. На изготовление 416 деталей первый  рабочий тратит  416 x ч ., а второй на изготовление 546 деталей тратит 546 x−5 ч.  По условию первый тратит на изготовление на 10 часов меньше,  x =10     чем второй. Составим и решим уравнение:  546 x−5−416 546x−416(x−5)=10x(x−5) 546x−416x+2080=10x2−50x   10x2−180x−2080=0   x2−18x−208=0   D=(−18)2−4∙1∙(−208)=324+832=1156=342   { x1+x2=18 x1∙x2=−208 Так как количество деталей положительно, то  x2=−8  – исключение.  x1=26 ❑ x2=−8 ⇔ 1) 26 деталей изготавливает первый рабочий.  2) 26 – 5 = 21 деталь изготавливает второй рабочий.  Ответ: 26. 12. Найдите наименьшее значение функции  y=x3+6x2+9x+8  на отрезке [–2;0] .  Решение.  y'=3x2+12x+9   y'=0         3x2+12x+9=0                    x2+4x+3=0 {x1+x2=−4 x1=−3 ❑ x2=−1     ⇔ x1∙x2=3 Так как  −3∉[−2;0],−1∈[−2;0],  то найдем значение функции в точке  х= – 2, – 1, 0.  y(−2)=(−2)3+6(−2)2+9∙(−2)+8=−8+24−18+8=6   y(−1)=(−1)3+6(−1)2+9∙(−1)+8=−1+6−9+8=4       y(0)=03+6∙0+9∙0+8=0+0+8=8   Ответ: 4.  12.  Найдите точку минимума функции  y=(x+9)2(x+3)+7 .  (самостоятельно) Решение.  y'=2(x+9) (x+3)+(x+9)2=2x2+24x+54+x2+18x+81 =3 x2+42x+135    y'=0           2(x+9)(x+3)+(x+9)2=0                        3x2+42x+135=0 D=1764−1620=144   x1=−9,x2=−5                       +        –        +                                                             –9       –5                                                                                     min   Ответ: – 5. 13.  а) Решите уравнение  sin2x 1 + 1 sinx=2   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 2 2 ].   ;−3π [−5π Решение.  1 + 1 sinx=2 а)  sin2x 1 sinx=t  , тогда  t2+t−2=0                               t1=−2,t2=1   1) 2) 1 sinx=−2   sinx=−1 2   x=(−1)n+1 π 6 +πn,n∈Z   1 sinx=1    sinx=1   x=π 2 +2πn,n∈Z   2 принадлежащие  n=0,x1=−π б) Из всех корней  x=(−1)n+1 π 6 +πn,n∈Z   отберем корни уравнения,  [−5π 2 ].   ;−3π ∉[ −5π 2 ].   6 +0=−π ;−3π 6 ∉[−5π 2 ] ;−3π 6 −π=−5π   6 2 ∈[−5π 2 ] ;−3π 6 −2π=−13π 6 ∉[−5π 2 ] ;−3π 6 −3π=−17π 6 n=−2,x3=−π n=−1,x2=π n=−3,x3=π 2 2 2 2      принадлежащие  n=0,x4=π 2 Из всех корней  x=π 2 +2πn,n∈Z  отберем корни уравнения,  [−5π 2 ] ;− 3π 2 2 ] ∉[ −5π ;−3π ∈[−5π 2 ] 2 −2π=−3π ;−3π 2 ∉[ −5π 2 ] 2 −4π=−7π ;−3π 2 6 +πn,π 2 +2πn,n∈Z   n=−1,x5=π   n=−2,x6=π Ответ: а) (−1)n+1 π −13π 2     2   6              б)   13. a)Решите уравнение  6cos2x−7cosx−5=0 . (самостоятельно)        б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−π;2π] .  Решение.  а)  6cos2x−7cosx−5=0      cosx=t,|t|≤1 , тогда  6t2−7t−5=0   D=49+140=169   12= 5 t1=7+13 12 =20 12 =−1 2    t2=7−13 3 >1    – посторонний корень  cosx=−1 2   x=±2π 3 +2πn,n∈Z   б)  −π≤−2π      −1+ 2 3 3 +2πn≤2π                           −π≤2π ≤2n≤2+ 2 3                               −1−2 3 3 +2πn≤2π   ≤2n≤2−2 3 3                                                       −5 6 ≤n≤2 3                                                n=0,x= 2π 3 −1 6 ≤n≤4      n=0,x=−2π n=1,x=−2π 3 3 +2π= 4π 3   Ответ: а) x=±2π 11. Автомобилист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В 3 +2πn,n∈Z  ;  б)  2π 3 ;  4π 3 . −2π ;  3 первый день он проехал   1 4   всего пути и ещё 40 км, во второй день он проехал  1 3 всего пути и ещё 30 км, а в третий день он проехал  17 60  всего пути и оставшиеся 45 км. Найдите расстояние между городами (в км).  Решение.  xкм−расстояниемеждугородами.   В первый день  Во второй день  1 4 x+40  км.  1 3 x+30  км.  В третий день  Всего:   1 4 x+40+1 3 1 4 17 60 x+40+1 3 x+30+ 17 60 x+45  км.  x+30+ 17 60 x+45= 13 15 x  км.  x+115   13 15 x+115=x   x=115   2 15 x=115∙15÷2=862,5  км.  Ответ: 862,5 км.  Итоги урока. Домашнее задание. Вариант 3, 4 выполнить.