Урок алгебры и начала анализа в 11 классе на тему "Аналитические методы решения логарифмических уравнений"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН ТУРШУНАЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА «Согласовано» Зам.директора по УВР Мусаева Б.М.________ «___»_________2017г «Утверждаю» Директор школы  Вагабов М.И._________ «___»___________2017г (на семинаре учителей математики Бабаюртовского района) Провела учитель математики МКОУ «Туршунайская СОШ» Мусавузова Г.Н. 2 Тема: « Аналитические методы решения логарифмических уравнений » 2017г Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков Вид урока:  Урок­практикум Метод: деятельностный, проблемный, частично­поисковый. Цели урока: ­ Обобщение и систематизация изученных способов                            решения   логарифмических  уравнений;                        ­ Развитие умения осуществлять  самооценку;                        ­ Воспитание у учащихся трудолюбия, мотивов                             обучения, положительного отношения к знаниям; Оборудование: проектор, интерактивная доска,  компьютер для учителя,  нетбуки для учащихся, компьютерная презентация,  План урока 1. Организационный момент. Определение целей урока. 2. Устный опрос в виде блиц­турнира 3. Актуализация знаний по изученному материалу. 4. Решение заданий у доски. Повторение теоретических сведений. 5. Изучение нового материала:  Проблемная ситуация.  Постановка учебной задачи.  Формулирование  темы урока.  Решение заданий в тетрадях и у доски  Анализ полученных данных  Вывод 6. Онлайн­тест 8. Итог, домашнее задание. Ход урока 1. Последние несколько уроков мы занимались аналитическими методами  решения логарифмических уравнений.(Слайд 1) Сегодня нам необходимо  подвести итог этой темы. Давайте сформулируем, какие же цели мы ставим перед собой? (Слайд 2) Цели урока: • Обобщить и систематизировать изученные методы решения    логарифмических  уравнений 3 • Выявить особенности каждого метода От себя я добавлю такую цель: • Выяснить, всегда ли логарифмические уравнения решаются одним из  изученных нами методом. 2. А сейчас     Блиц­турнир (Слайды 3­14) log 2 x 1 1 log 9 x 2 x 2 lg x log 027 log х 24 ,0 2 3    Молодцы! log 4 ( x )15  2 log5 x 3 log 1 x 0 3 log 4 x log 8 x 3 2 1 3 x 1 log 5 6 log3 ( x 4 )5 3. Какие уравнения вы сейчас решали? Простейшие. Как решаются простейшие логарифмические уравнения? По определению. Какие еще методы решения логарифмических уравнений вы знаете? (Слайд 16) • Метод потенцирования • Метод замены переменной • Метод логарифмирования Итак, первое задание: (Слайд 17) Разбить уравнения на группы по методу их решения и записать номера  соответствующих уравнений в таблицу: 1. ; log97log x x    1 6 1 6 2.    ;  453log2 x  3.     1  lg4 x  2  lg2 x ;  1 4 4.     5.     6.     7.     8.     9.     10.    2 2log 3 x  ;56 x  log 2,0 2  xx 06log 2,0 lg xx 10 log12log 2log  xxx 23 23 23    2 2log xx 32 log2  213 xx  1 3 2  xx 02log7log3 2 2   11.  x 92lg8lg2  x   12. 3log2 x 9 x    Давайте проверим, что у вас получилось (Слайд 18)   Метод решения По определению Метод потенцирования (ПТ) Метод замены переменной (ЗП) Метод логарифмирования (ЛГ) Отлично! 2, 4, 9 1, 7, 11 3, 5, 10 6, 8, 12 Номера уравнений 5 log1 6 4. Итак, сейчас трое из вас выберут по одному уравнению из каждой группы и  решат его у доски. (Выбор уравнения со слайда) 1.  ОДЗ  {7x+9>0 =¿{7x>−9 (7x+9)=log1 6 =¿x>0 x>0 x>0 x =¿{x>−1 2 x>0 7 7x+9=x 7x−x=−9 6x=−9 x=−1,5  ­ не входит в  ОДЗ Ответ: нет корней. log2(3x−5)=4 2.  ОДЗ  3x−5>0 ,    3x>5 ,    x> 5 3 3x−5=24 3x=16+5,x=21 3 ,x=7  –входит в ОДЗ  2 2+lgx=1 ,   ОДЗ    x>0 Ответ: 7. 1 4−lgx+ 3.  lgx=y 4−y+ 2 1 2+y+2(4−y)=(4−y)(2+y) 2+y=1 2+y+8−2y=8+4y−2y−y2 10−y−8−2y+y2=0 y2−3y+2=0,D=1,y1=1,y2=2 lgx=1,x=10 lgx=2,x=102,x=100 Ответ: 10, 100. 6 2x+3 (¿−56)=x log2¿ 4.  ОДЗ  2x+3−56>0, log22x>log27 ,  x>log27   2x+3>56 ,   2x>56:8 ,  2x>7 ,  2x+3−56=2x,2x+3−2x=56 2x(23−1)=56,2x∙7=56 2x=8 x=3 Ответ: 3. log0,2 5.  log0,2x=y 2x+log0,2x−6=0  ОДЗ ,    x>0 y2+y−6=0 D=25,y1=2,y2=−3 log0,2x=2,x1=0,22,x1=0,04 log0,2x=−3,x2=0,2−3,x2=125 Ответ: 0,04;  125. 6.  xlgx=10  ОДЗ  x>0 lgxlgx=lg10 lgxlgx=lg10 (lgx)2=lg10 (lgx)2=1 lgx=1  или   lgx=−1   x=10 ,          x=10−1                         x=0,1 Ответ: 0,1; 10 (2x=1)+¿ log23x=log23(x+2) 7.  log23¿ 7 ОДЗ  {2x+1>0 x+2>0 x>0 =¿{x>−1 2 x>−2 x>0 =¿x>0 log23(2x+1)x=log23(x+2) x(2x+1)=x+2 ,    2x2−2=0 ,      2(x2−1)=0 x2=1 x1=−1 ­ не входит в ОДЗ x2=1 Ответ: 1. 8.  2xlog2x=32  ОДЗ  x>0     xlog2x=16 log2xlog 2x=log216 log2xlog2x=log224 (log2x)2=log224 log2x=2   или  log2x=−2       x=4                     x=1 4 Ответ:  1 4 ,    4 x2 ¿ log 1 3 (¿+3x−1)=−2 9.  ОДЗ   x2+3x−1>0 , D=5,  x1= −3+√5 2 ,     x2= −3−√5 2                          +                                        ­                   + −3+√5 2                                     x −3−√5 2 8 2 ;∞) −3−√5 ,x2+3x−1=9 x∈(−∞;−3+√5 2 )∪( x2+3x−1=( 1 3)−2 x2+3x−10=0 ,      D=49,x1=−5 ,     x2=2  оба корня входят в ОДЗ Ответ: ­5; 2. 10.  3log2       3y2−7y+2=0,D=25,y1=2,y2=1 3 2x−7 log2x+2=0   ОДЗ  x>0 log2x=y             log2x=2,x=22,x=4 log2x=1 3 ,x=2 1 3,x=3√2  оба корня входят в ОДЗ 3√2;4. Ответ:  11.  lg(x2−8)=lg(2−9x) =¿{ x2>8 ОДЗ  {x2−8>0 2−9x>0 −9x>−2 =¿{ x>√8 x<−√8 x< 2 9 =¿x∈(−∞;−√8)∪(√8;∞) x2−8=2−9x x2+9x−19=0 ,  D=121,x1=−10                                                      x2=1  ­ не входит в ОДЗ Ответ: ­10. 12.  x2log3x=9     ОДЗ  x>0        2log3xlog3x=log332     2(log3x)2=log332 (log3x)2=log33      2(log3x)2=2log33 log3x2 log3x=log39 9 log3x=1             x=3  – входит в ОДЗ Ответ: 3. А мы с вами давайте повторим, в чем заключается каждый метод, по какому  признаку мы определяем, что нужно использовать именно его, и каков его  алгоритм. Итак, (Слайд19) Метод потенцирования Признак: уравнение может быть представлено в виде равенства двух логарифмов  по одному основанию ( ). log a  xf   log a  xg Алгоритм метода потенцирования: 1. Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения  положительнынеотрицательны); 2. Пропотенцировать обе части уравнения по основанию равному основанию  логарифма; 3. Перейти к равенству подлогарифмических выражений, применив свойство  логарифма; 4. Решить уравнение и проверить полученные корни по ОДЗ; 5. Записать удовлетворяющие ОДЗ корни в ответ. (Слайд 20) Метод замены переменной Признак: Все логарифмы в уравнении могут быть сведены к одному и тому же  логарифму, содержащему переменную. Алгоритм метода замены переменной: 1.  Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения положительны); 2.  Произвести замену переменной; 3.  Решить полученное уравнение; 4.  Составить простейшие   логарифмические уравнения, возвращаясь к  предыдущей переменной; 5.  Проверить полученные корни  по  ОДЗ; 6.  Записать удовлетворяющие ОДЗ корни в ответ. (Слайд 21) Метод логарифмирования 10 Признак: переменная содержится и в основании степени, и впоказателе степени  под знаком логарифма. Алгоритм метода логарифмирования: 1. Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения положительны); 2. Прологарифмировать обе части уравнения по основанию, равному основанию  логарифма в показателе степени; 3. Вынести показатель степени за знак логарифма, пользуясь свойством; 4. Решить полученное уравнение, пользуясь методом замены переменной. Проверка решения уравнений на доске: ребята комментируют решение. Спасибо! 5. Давайте проанализируем следующее уравнение: ( Слайд 22)  2 25log x5  ­ 3 xlog5x  = 10.  Какой метод решения этого уравнения можно определить по внешним признакам? Метод замены переменной. Давайте произведем эту замену и посмотрим, что получится. (Решение  уравнения у доски)  ОДЗ  x>0 Преобразуем выражение   25log x52 2 =  52log5x∙log5x  =  (5log 5x)2log5x  =  (x)2log52x . Сделав теперь в исходном уравнении замену переменной t =  (x)log5x , придем к  системе:  {t2−3t−10=0, t>0 {t1=−2,t2=5, t>0       t = 5. Итак,  (x)log5x  = 5.  Прологарифмируем это уравнение по основанию 5:  log5(x)log5x = log 55, (log 5 x)2 = 1. log 5 x = 1 или  log 5 x = ­ 1. 1) log 5 x = 1,     x = 5. 11 2) log 5 x = ­1,     x =  1 5 . Ответ. 1 5 ;5 Получается, что мы использовали не только метод замены переменной. Но и  метод логарифмирования!  Как же можно назвать это уравнение? Комбинированным. (Слайд 23) Рассмотрим еще несколько таких уравнений: 1.    25log x5  ­ 3 xlog5x  = 10. 2 2. 3. lg x 10 х   x lg x  ;11 2 4log 4x2  + 3∙ (4x)log2 4x  = 10. Фронтальное решение уравнений у доски и в тетрадях. 2. lg x 10 х   x lg x  ;11  ОДЗ   x>0   xlgx=t   10t+t−1=11   10t+ 1   10t2−11t+1=0 ,   D=212−40=81 ,  t1=1,t2= 1 10 xlgx=1                   xlgx= 1 10 t=11  / общий знаменатель t xlgx=x0                 lgxlgx=lg 1 10 lgx=0                    lgxlgx=lg10−1 12 (lgx)2=lg10−1 (lgx)2=−1   нет корней x=1                                                      Ответ: 1 2 3.4log 4x2  + 3∙ (4x)log24x  = 10. Преобразуем выражение   4log 4x2 2 =  22log2 4x∙log24x  =  (2log 24x)2log2 4x  =  (4x)2log 24 x . Сделав теперь в исходном уравнении замену переменной t =  (4x)log2 4x , придем к системе:  {t2+3t−10=0, t>0. {t1=−5,t2=2, t>0.       t = 2. Итак,  (4x)log2 4x  = 2.  Прологарифмируем это уравнение по основанию 2:  log2(4x)log24x = log 22, (log 2 4x)2 = 1. log 2 4x = 1 или  log 2 4x = ­ 1. 1) log 2 4x = 1,     4x = 2,   x1=  1 2 . 2) log 2 4x = ­1,     4x =  1 2 ,   x2=  1 8 . Ответ. x1  =  1 2 ,  x2  =  1 8 . Проанализируйте решение каждого уравнения и запишите в таблицу, какие  методы вы использовали при решении этих уравнений, с помощью кода  указанного в задании. Например, для первого уравнения мы выяснили, что это  комбинация метода замены переменной и метода логарифмирования. Закодируем и получим (Слайд 23) № Уравнение Методы 13 1. 2. 3. 2 25log x5  ­ 3 xlog5x  = 10    x lg x  11 x lg х 10 4log 4x2 2  + 3∙ (4x)log24x  = 10 ЗП, ЛГ ЗП, ЛГ ЗП, ЛГ 6. Все вы помните, что в конце года вам предстоит важное испытание – ЕГЭ.  Логарифмические уравнения составляют его часть. Они встречаются в 7 задании  базового уровня и 13 задании  профильного уровня, где нужно развернутое  решение. Мы сейчас с вами потренеруемся в выполнении подобных заданий.  Все  включите нэтбуки. На рабочем столе есть файл "Он­лайн тест", откройте его  пройдите по ссылке. Пройдите тест по теме "Логарифмы" http://moeobrazovanie.ru/online_test/matematika     7. Итог, домашнее задание: (Слайд 25) 1. Из предложенных уравнений решить те, которые Вы можете решить: 3  ;1 log log 3 x   x  3 3 log 5  4   x  log2 5 x  ;012 lg2 x 10  8 x lg x  ;20 log 4  log2 3  1  log   log31  3 2 x   1     1 2 . 14 15