Урок алгебры разноуровнего повторения в 11 классе " Геометрический и физический смысл производной"

Урок  разноуровневого  обобщающего  повторения  по теме: « Геометрический и физический смысл производной. Применение производной» Учитель математики МБОУ  СОШ №10 г. Новороссийска Волкова Ольга Алексеевна г.  Новороссийск Урок   разноуровневого  обобщающего  повторения  по теме: « Геометрический и физический смысл производной. Применение производной» Урок   разработан   для   учащихся   11   класса,   который   был проведен     в   МБОУ   СОШ   №   10   г.   Новороссийска.   Тема   урока разработана   на   основании     анализа   результатов   предыдущей диагностической   работы   в   данном   классе,   которая   показала,   что учащиеся  данного класса      усвоили данную тему не на должном уровне.       В классе  24  ученика.  По данным контрольной работы: только 4  учащихся справились  со всеми заданиями   данной  темы,   что составило 17% Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии  с тремя уровнями подготовки, причем уровень подготовки  они  оценивают сами. Цель урока:  1) дидактическая: обобщить теоретический материал по   теме    «Геометрический и физический смысл производной.  Применение производной»,  рассмотреть решения типичных  задач; 2) развивающая: развивать умение анализировать и  систематизировать имеющуюся информацию; 3) воспитательная:  формировать умение оценивать свой  уровень знаний и стремление его повышать.          I этап урока – организационный момент (1 минута) Учитель сообщает тему урока,  его цель,   структуру урока,  необходимость его проведения. II этап урока  (10 минут) Повторение основных теоретических знаний.                                    Повторение   проходит в   виде  презентации ( См. Приложение 1),во время которой учащимся предлагается вспомнить   определение   производной,   рассмотреть   типовые задания   на   применение   производной,   ее   геометрический   и физический   смысл.   Последний   слайд   содержит     формулы дифференцирования,  он выводится  и остается до конца урока как справочный материал. Данный этап проводится для всех  учащихся класса. По  ходу появления объектов слайда учитель ведет диалог с классом. Каждый новый объект слайда выводится по щелчку, поэтому  темп прохождения материала задает учитель. Учитель:    рассмотрите слайд №1. Что изображено на сладе, объясните,     что   такое   х1  и   х2,       у1    и     у2,       определение производной функции.     и .     Дайте Учитель:   взглянем на слайд №2 с точки зрения физики. Что изображено на чертеже, что такое вектор  АВ, объясните,  что такое х1  и  х2,   у1  и  у2,    чем же состоит физический смысл производной?   и . Как найти скорость перемещения?    В Учитель:   обсудим  слайд №3. Перед нами знакомый график функции,   давайте  внимательно   посмотрим,   что  происходит   с хордой   АВ,   геометрический смысл производной.  если   Δх       0  и   вспомним,   в   чем   состоит Далее идет фронтальный анализ задач, изображенных на  слайдах. III этап урока ( 15 минут) Геометрический и физический смысл производной. Решение типичных задач. На обычной классной доске решаются типичные базовые  задачи,  используя запись последнего слайда как справочный  материал, дается  теоретическое обоснование способа  решения. На этом этапе урока фронтально с учителем работают слабые  и средние, сильные учащиеся работают группой с последующей  сверкой решения с решением, предложенном учителем. Для повышения продуктивности урока предложенные  задачи с  выбором ответа.   Для фронтальной работы: Задача 1. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t4 + t3 – t2 + 8. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 секунды после начала движения? 1)123 2) 111 3) 108 4) 121 Задача 2. Через точку графика функции у = - 0,5 х2 +4х + 7 с абсциссой х0 =2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. 1) -1 2) 2 3) 6 4) 17 Задача 3. Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции y = с осью ОХ, в точке с абсциссой х0 = -2. 1)450 2) 300 3) 600 4) 1350 Задача 4. Найдите все интервалы убывания функции у = х4 - х3 -15. 1) (- ; 2) 2) (0;2); (2; + ) 3) (- ;0); (2;+ ) 4) (0;2) Задача 5. Найдите сумму значений функции у = х4 – 2х3 + х2 +3 в точках максимумов и минимумов функции. 1) 3 2) 5 3) 1 4) 2 Задача 6. Материальная точка движется по закону x(t) = t3 – t2 +9t +11 ( х – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 10 м/с2 ? 1)6 2) 2 3) 3 4) 4 Для работы в группе сильным учащимся: ( См. приложение 2) IV  этап урока­15 мин. Разноуровневая  самостоятельная  работа. Учащиеся  I  и   II уровня подготовки решают  самостоятельную работу напечатанную на листах разного  цвета, выбор цвета     ( уровня)  выбирают учащиеся сами. Содержание  разноуровневой самостоятельной работы см.  Приложение 3. Параллельно с самостоятельной работой, на обычной классной доске или, работая группой, учитель ведет работу с сильными учащимися, это задачи третьего уровня или сильные учащиеся тоже пишут самостоятельную работу, составленную из предложенных задач. Уровень  3.   ( См. Приложение 4)                                          V этап урока  ( 4 минуты) Подведение итогов урока. Учитель оценивает работу учащихся на уроке, обращает их  внимание на необходимость понимания геометрического и  физического смысла производной, дает домашнее задание –  выборку задач по данной теме, например:  ( См. Приложение 5) Приложение 2. Для работы в группе сильным учащимся: Задача 1. На рисунке изображен график функции у = ах2 + вх +с и четыре прямые. Одна из прямых - график производной. Укажите номер этой прямой. Решение. 1. По рисунку определяем вершину параболы, 2. Тогда уравнение параболы имеет вид: y = a(x- это точка (4; -5). 3. По рисунку х=1 – корень уравнения a(x-4)2 -5 4)2 - 5 =0, отсюда a = . 4. Получим уравнение параболы у = (х – 4)2 -5. 5. Производная y’ = ∙2 ∙(x-4) = x - = x - 4 6. При х = 0, y’ = -4 , при х = 4, y’ = 0. 7. Значит, графиком производной данной функции является прямая № 3 Задача 2. При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2 ? Решение 1. Пусть х0 – абсцисса точки касания, составим уравнение касательной в этой точке. 2 - 4х0 -2 2. у = 3х2 - 4х -2 3. у0 = 3х 0 4. y’ = 6х - 4 5. y0 ’ = 6х0 - 4 6. Получим уравнение касательной 2 - 4х0 -2 + (6х0 – 4)(х – х0) , у = 3х 0 у = (6х0 – 4)х - 3х0 2 -2. 7. Чтобы прямая у = -10х +а являлась касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2 , необходимо, чтобы 6х0 - 4 = -10, отсюда х0 = -1, тогда а = - 3х0 2 -2 = -3-2 = -5 Приложение 3. Содержание разноуровневой самостоятельной работы Уровень 1 Вариант 1 Задача 1. Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t2-3t+6. Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка? 1) 10 3 4) 6 3 2) 3 10 3) 5 Задача №2 Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х2-8х+4 параллельна оси абсцисс. 1) -8 2) 1 3) 0 4) 4 Задача№3 Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х2+4х-3 с осью . ОХ, в точке с абсциссой 1) 450 2) 300 3) 600 4) 1350 х 0 3 4 Задача №4. Найдите значение функции максимума.  xf   1 3 3 x  1 2 2 x  6 x в точке 1) 12,5 2) 13 3)13,5 4) 12 Задача№5. Найдите все интервалы возрастания функции   xf 1)  1; 4) (-1;0) 2 2 x 2) (0;1) 3)  1;0;1;    .   1 x 4 3 t  Задача №6 Материальная точка движется по закону   tx время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 10м/с2? 1) 6 2) 2 3) 3 4) 4 (х – перемещение в м, t –  4 2 t 17 3 t Уровень 1 Вариант 2 3 t 7   6 t 5 2 t  (х – перемещение в м, t – время в с). Задача №1. Материальная точка движется по закону   tx Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 8м/с2? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Задача №2 На кривой у=х2-х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1. 1) -2 2) 1 3) 2 4) 3 2 . х 0 Задача №3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=-2х4+3х+5 в его точке с абсциссой 1) 67 2) -61 3) 19 4) 72 Задача №4 Найдите значение функции минимума. 1) -3 2) -4 3) 3 4) 4 Задача №5. Найдите все интервалы убывания функции  xf в точке  xf  1 2    3 x x x х x      3 2 4 4 3 2 1 4 2  x 2 . 5 2 2)    5;1;0;   5; 5;2;0; 4) 3)  1)  (2;5) Задача №6. Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону   tS скорость (м/с) через 4 секунды после начала движения? . Чему будет равна мгновенная   1 4 1 2 12  t t t 2 3 4 1) 123 2) 111 3) 108 4) 121 Уровень 2 Вариант 1 1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х6 — 2х5 + Зх4 + х2 + 4х + 5 в точке х0 = — 1. 2. Функция у = f(x) определена на промежутке (—4; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент. 3.Функция у = /(ж) задана своим графиком на промежутке [—8;4] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0. 4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = х2 — 2х - 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс. 5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами X1, Х2, Х3, Х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках. У х Уровень 2 Вариант 2 1.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х5+ 2х4 + х3, + 12 в точке х0 = 1. 2.Функция у — /(х) определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент. 3. Функция у - f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю. 4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у =х2 - 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс. 5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами X1, Х2, Х3, Х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках. y х Приложение 4. Содержание задач. 3 уровень. Задача 1. Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой точке: Найти угол между кривыми у = 8 – х и у = 1. Найдем область определения второй Решение. 2.Найдем точку пересечения графиков, функции: Х+4 ≥ 0, Х ≥ - 4; = 8-х, или 3.Найдем угол наклона касательной к у = в точке с абсциссой х= 0 y’ = y’ (0) = 1 , значит угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох можно определить из равенства tg α = 1, α = 450. 4.Угловой коэффициент прямой у = -х + 8 равен -1, значит tgβ = -1 β = 1350, следовательно, угол γ между кривыми равен γ = 1350 – 450 = 900. Ответ: 900. Задача 2. Показать, что графики двух данных функций у = х4 и у = х6 + 2х2 имеют одну общую точку и в этой точке – общую касательную; написать уравнение этой касательной. Решение. 1. Найдем точку пересечения кривых х6 + 2х2 = х4, х6 - х4+ 2х2 = 0, х2(х4 – х2 + 2) = 0, х=0 или х4 – х2 +2 =0 D 2. Составим уравнения касательных к кривым в точке х=0 3. у = х4 у0 = 0 y’ = 4x3 y’0 = 0, получим касательную у =0. 4. у= х6 + 2х2 у0 = 0 y’0= 6x5 + 4x y’0 = 0, получим касательную у =0. Значит, кривые имеют общую точку (0;0) и общую касательную у=0. Задача 3. Составить уравнение касательной к графику функции у = , х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25. Решение. 1. Пусть х = с – абсцисса точки касания, тогда уравнение касательной имеет вид: у = ( х – с), - у = - х + 2. При х =0, у = 3. При у = 0 , х = с. 4. Площадь отсекаемого треугольника равна ∙ ∙ с = = 1, с =1. 5. Получим уравнение касательной у = - х + у = -2х + 3 Ответ: у = -2х + 3 Приложение 5. Домашнее задание  . y  6; 7 На Функция   1. f x определена на промежутке  рисунке  изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к   графику функции f x имеет наибольший угловой коэффициент. y    . y   f x 5; 5 2. Функция определена  на промежутке На  рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели касательные во всех точках, - целые абсциссы которых числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент. 3 Прямая пересекает ось абсцисс при функции  y Найдите 1f   4. Функция определена на промежутке Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции которые x  , касается графика  f x  5; 3 в точке  f x .  x 15 1; A    4 y y y ,  f x   . .   f   составляют угол 45o с положительным направлением оси Ox.  y  5. Фун кция  f x промежутке определена на  На .  3; 6 рисунке изображен график производной .   x f Определите число касательных к графику функции ,    f x тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3. 6. графика функции Прямая пересекает ось ординат при 2 . Найдите y  , касается в точке  y y 2; 5 2f   f x A  y .      y  6; 6   7. Функция определена f x на промежутке  . На  рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых - целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент. 8. Прямая пересекает ось ординат при функции в точке 4; 7  A   f x . Найдите  y   f    4 . 1y  , касается графика 1 x y   f .  y y  y 1 0 x  f  x  f x  3; 9 9. Функция определена на Используя промежутке изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику которые функции составляют с положительным направлением оси Ox. 10 Функция . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику определена на промежутке  120o   f x угол  f x 6; 7   ,  y y   функции y   f x  имеет наибольший угловой коэффициент. Список литературы 1. Е.А.  Семенко. Тестовые контрольные   задания по алгебре и  началам анализа. Базовый уровень. «Просвещение­Юг» 2005г 2. Варианты краевых контрольных работ. 3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10­11 класс.  «Мнемозина». 2014г. 4. Алимов Ш.А Алгебра и начала анализа 10­11 класс.  «Просвещение» 2014г. 5. Ф.Ф.Лысенко Вступительные испытания ­2014. «Легион»  2014г. 6. Ф.Ф.Лысенко ЕГЭ ­2014. Тематические тесты 10­11 класс     Часть 2. «Легион» 2014г.