Урок алгебры в 8-м классе "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

Урок алгебры в 8-м классе "Решение задач с помощью квадратных уравнений" Цели и задачи урока:  выработать умение применять квадратные уравнения для решения алгебраических и геометрических задач; продолжить формирование практических и теоретических умений и навыков по теме “Квадратные уравнения”;  способствовать умению анализировать условие задач, развитию умения рассуждать, развитию познавательного интереса, умению видеть связь между математикой и окружающей жизнью;  воспитывать внимательность и культуру мышления, самостоятельность и взаимопомощь.  Ход урока.  1.Организационный момент. Сообщение целей и задач урока.  2.Устная работа.  Какое уравнение называется квадратным?  Какое уравнение называется приведённым?  Какое уравнение называется неприведённым?  а). Назовите коэффициенты квадратного уравнения: а) 8х2-х+7=0; б) 6х+8х2-1=0; в) -7х+х2-7,5=0; г) 0,7-0,5х-х2=0; д) х2+18+4х=0; е) 5х2=7х+24; ж) 12х=х2- 9; з) 6х2+7х=0; и) х2+5=0; к) 7,2х2=4; л) 2х2=0; м) х(5-х)=0. б). Укажите среди данных уравнений приведенные квадратные уравнения  3. Проверка домашнего задания Взаимопроверка тетрадей  4. Самостоятельная работа Вариант 1. 1).Напишите формулу корней квадратного уравнения ах2+вх+с=0. 2).Заполните таблицу: Уравне х1х2 х1+ а в с в2- 4ас ние х2- 7х+12= 0 4х2=-7х х2 х1* х2 2 7 9 Вариант 2. 1). Напишите формулу корней квадратного уравнения ах2+2кх+с=0 2) Заполните таблицу: Уравнение а в с в2- 4ас 5х2-4х=0 3 0 - х1х2 х1+ х2 х1* х2 27 -2х2=-5-3х 4. Изучение нового материала (основные понятия). (При рассмотрении решения задач опираюсь на знания учащихся, задаю наводящие вопросы, подвожу учащихся к самостоятельному решению). Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к необходимости решения квадратных уравнений. Мы с вами должны научиться проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить зависимость между данными задачи и неизвестными величинами. Схема решения задач 1. 2. 3. 4. Анализ условия Выделение главных ситуаций Введение неизвестных величин Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами Составление уравнения Решение уравнения Запись ответа 5. 6. 7. Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения. Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника. Повторение. - Что такое треугольник? -Виды треугольников. - Какой треугольник называется прямоугольным? -Как называются стороны у прямоугольного треугольника? -Теорема Пифагора. Задача Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см2. Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см2. Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим уравнение: х2+7х=60 , х2+7х- 60=0, D=289, х1=-12; х2=5. Так как длина отрезка величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см. Рассмотрим старинную задачу, которая решается с помощью теоремы Пифагора, но полученное при решении уравнение после упрощения оказывается линейным. Задача (Задача Бхаскары, Индия, XIIв.) Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера. Решение. Пусть отрезки АВ и АС изображают лотос в двух положениях. Если АD = х – глубина озера, то ВD = 1/2, АС = х+1/2. Составим уравнение х2 + 22 = (х + 1/2)2, Решим уравнение х2 + 22 = х2 +2*1/2х + (1/2)2, х2 + 4 - х2 –х -1/4 =0, х=3 >¾. Ответ: глубина озера 3 3/4 фута. 5. Закрепление материала. №559. (Один учащийся у доски самостоятельно решает, потом комментирует решение задачи, остальные решают на месте, проверяют решение) Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. Решение. Первое число х Второе число Произведение чисел х + 6 1 87 Составим уравнение х(х+6)=187. Решим его: х2+6х-187=0. D=784, х=11, х=-17. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 11. Второе число равно 11+6=17. Ответ: 11 и 17. №563. (Самостоятельная работа, с последующей проверкой) Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2. Решение. (х(23-х)):2=60. D=49, х1=8, х2=15. Ответ: 8 и 15. 6. Итоги урока. Мы рассмотрели задачи, которые решаются с помощью квадратного уравнения, учились видеть связь между математикой и окружающей жизнью, использовали в решении знания геометрии и физики. 7. Домашнее задание. п.23, № 560, 564,569(старинная задача). Дополнительные задания:№ 576, 557. Индивидуальное задание: Брат и сестра собирали малину. Когда сестра собрала 2/3 своего двухлитрового бидона, трехлитровый бидон брата был почти полон. Ребята поменялись бидонами и через некоторое время одновременно закончили сбор ягод. Во сколько раз брат работал быстрее сестры? Решение. Сначала сестра собрала 2/3 * 2 = 4/3л малины. Пусть брат собрал в k раз больше (k>1), то есть 4/3k л. Потом сестра собрала 3 – 4/3k, а брат в k раз больше: 3k – 4/3k2, что составило 2 – 4/3 = 2/3 л. Составим уравнение 3k – 4/3k2 = 2/3, Откуда k = 2 (k = ¼ не удовлетворяет условию k >1). То есть брат работает быстрее сестры в 2 раза. Ответ: в 2 раза.