Урок-лекция "Дифференциальные уравнения"

Тема урока: «Дифференциальные уравнения» Форма урока: лекция Цель   урока:   формирование   понятий   –   дифференциальное   уравнение, решение   дифференциальных   уравнений   (общее,   частные особые). План урока: 1) Постановка цели урока и домашнее задание. 2) Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 3) Определение   дифференциального   уравнения;   определение решения дифференциального уравнения. 4) Интегральные кривые. 5) Определение   общего   решения   дифференциального   уравнения; определение   частного   решения   дифференциального   уравнения. Замечания   об   особых   решениях   дифференциального   уравнения (д.у.). 6) Решение упражнений. 7) Итоги урока. 1. В классе: К пункту 3: Пример1. Показать, что функция  y   является решением  x дифференциального уравнения  y  y x . Имеет ли это д.у.  другие решения? Пример 2. Решить д.у.  0y . 1 Пример 3. Решить д.у.  sin y x . К пункту 4:Пример 1. Решить д.у.  y  )(xf  в общем виде и прикинуть  положение интегральных кривых. Пример 2.  Построить интегральные кривые д.у.  y  y x . Пример   3.   Докажите,   что   y  2 c  2 x ­   решения   д.у.  y x y  и постройте интегральные кривые. К пункту 5:Пример 1. Найти частное решение д.у.  y  x y ,  удовлетворяющее условию  y )1( 2 . Пример 2. Подобрать общее решение и особые решения д.у.  ) 1 y 2 2 ( y ; построить интегральные кривые. К пункту 6: № 1. Решите д.у.: а)  cos 2 y x 2sin x ;  y б)  1  4 . 2 x №2.   Решите   д.у.    y x  1 x 2   и   выделите   интегральную кривую, проходящую через заданную точку:  а)  M )1;0( ; б)  )1;0(M ;  в)  )0;1(M . Домашнее задание: №10 (Вил.),  №13 (Вил.),                                   Решите д.у.  а)  y  сosx ; 2  y  б)  x 2/32 ) x . 1(  2. Введение Многие   законы   физики   связывают   величины   со   скоростями   их измерения. Пусть материальная точка массой   m движется по прямой линии под действием силы  F , направленной также по прямой.  По второму закону Ньютона:  a   (1). F m Кроме того  a  (2). x Из (1) и (2) следует  x  F m  (3). Уравнение   (3)   называется   дифференциальным,   а   наивысший   порядок производной   в   этом   уравнении   называют   порядком   дифференциального уравнения. До   сих   пор   мы   встречались   только   с   уравнениями   вида   , 0 содержащими неизвестную переменную  x . Задача решения такого уравнения заключается в том, чтобы найти все значения переменной  x , при подстановке которых в данное уравнение получается верное равенство. )( xF Однако   ряд   важнейших   задач   физики,   математики   и   ее   приложений приводит   к   необходимости   решать   уравнения   более   сложного   вида,   где неизвестной является не величина   x , а некоторая функция   уравнение наряду с  x  и   , (до какого­то n­го порядка). Например:   содержит еще и производные   sin  )( ny , 0 , причем  ,..., yyy x 2  0  y y )(xy x ;  y )(xy ;  y y y . 3. Определение д.у. и определение решения д.у. 3 Замечание: Уравнение Дифференциальное уравнение Общий вид:  )( xF 0 Общий вид: Требуется найти:  x yyyxF ,( ,  ,  ,..., ny )(  ) 0 Требуется найти:  )(xy Определение:   дифференциальное   уравнение   )(   yyyxF ,( ,  ,  ,..., ny )(  ) 0 Уравнение, связывающее независимую переменную   x   с   и   ее   производными   до неизвестной   функцией   включительно,   называется некоторого   порядка   n   )(xy дифференциальным уравнением n­го порядка. Задание (устно): Определите порядок д.у. а)   y y x 2  0 ;  sin y б)  x ;  в)  y 0 y y .  Определение: решение дифференциального уравнения  Решением   дифференциального   уравнения )(   y  называется   функция   ,   дифференцируемая,   по крайней мере,   n   раз и такая, что при подстановке ее в уравнение  )(  последнее обращается в тождество. )(xf Примеры: 4 №1. Показать, что функция   y  является решением уравнения   x y  y x (4). Решение: Подставим   y    и   x (  1) x y   в  уравнение  (4):   y верно, следовательно  y   ­ решение уравнения (4). x  11 1   ­ y x x x ! Однако функция  y   не единственное решение уравнения (4).  x ?   Какие   еще   функции   являются   решением   уравнения   (4)?   y 3 ; x y 10 x  и т.д., т.е.  y  , где  c ­ произвольная постоянная. cx Убедимся,   что   функция   решение   уравнения   (4):   подставим   cx y  ,   где   c ­   произвольная   постоянная,   в   уравнение   (4): y    и   y  cx c  c c c y ­ верно. y x cx x y  ,   x y x 3 ;   Итак,     и т.д. частные решения уравнения (4); y    ­   общее   решение   уравнения   (4).   Все   частные   решения   являются результатом   подстановок   в   общее   решение   конкретных   значений 10 cx x y произвольной постоянной. №2. Решить уравнение  0y . Решение: Возможно непосредственное интегрирование:  y c 1 y 0  dxy  dxc 1  xc 1 y c 2 .  dxy  dx Здесь   дважды   применялось   1   свойство   неопределенного   интеграла:  dxxF  )(  xF )(  c . 5 Ответ:   ­   это   общее   решение,   частные   решение   можно получить   при   подстановке   в   общее   решение   конкретных   значений  xc 1 c y 2 произвольных постоянных  1с  и  2с . №3. Решите уравнение  sin y x . Решение: y  sin x  dx  y  sin xdx  y cos x   dxy c 1  (cos x  c 1 ) dx   y sin x  xc 1 .   (  dxy c 2 sin x  xc 1  c 2 ) dx  y cos x  2 xc 1  xc 2  c 3 Ответ:  y  cos x  2 xc 1  xc 2  c 3 . Замечание: количество произвольных постоянных в общем решении д.у. равно порядку этого уравнения. 4. Интегральные кривые Определение: интегральные кривые Графики   функций   –   решений   дифференциального уравнения   называют   интегральными   кривыми   этого уравнения. Примеры: №1.  Решить   д.у.   y  )(xf   (5)   в   общем   виде   и   прикинуть   положения интегральных кривых. 6 Решение:  y xf )(   первообразная функции  )(xf   xf )(  , dxy ,  c ­ произвольная постоянная.  xFy )(  dx  c   где   )(xF ­ Итак, уравнение (5) имеет бесконечное множество решений. Их графики (интегральные   кривые   уравнения   (5)) получаются   путем   параллельного   переноса  вдоль оси  y на  C , , такую графика функции  при этом через каждую точку  )(xFy  ; 0 y x ) ( 0 что   функция   xFy )(   c   непрерывна   при x  ,   проходит   одна   и   только   одна 0x интегральная кривая. №2. Постройте интегральные кривые уравнения  y  y x  (4). Решение: cx вид  Общее   решение   уравнения   (4)   имеет y  . При этом через   точку, кроме начала координат проходит одна   и только одна интегральная кривая.  ! Начало координат – особая точка для   и уравнение (4) д.у. (4). В этой точке   0x не имеет смысла. №3. Докажите, что  y  2 c  2 x  ­ решение д.у.   y x y (6) и постройте его интегральные кривые. Решение: 7 y  2 1 2 c  2 x  )2( x   2 2 c x  2 x 2   x  2 c . 2 x Подставим  y  2 c  2 x   y  и  x  2 c 2 x  в д.у. (6): y  x y  x  2 c 2 x  x 2  2 x   c x  2 c 2 x  x  2 c 2 x ­ верно. Итак,  y  2 c  2 x ­ общее решение д.у. (6), причем  y  2 c  c y x x y 2 c 2 x 2 2 2 2 2 ­ уравнение окружности с центром )0;0(  и радиусом  c . Интегральными кривыми уравнения (6) являются окружности   с центром в начале координат.  ! Ни дна из них не проходит через начало координат. 5. Определение общего и частного решений д.у., замечание об особом решении д.у. Определение: общее решение д.у. первого порядка  y  ;( yxf ) Функцию    , где  c ­ произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения y  ),( cx первого порядка  y  ;( yxf )  в области   , если:   1)   ),( cx для  ,( xf ,( cx ;    c она   является   решением   этого   д.у., ))   т.е. 8 для    точки   из   области      0c , при котором линия  y  ,( 0cx ) ( x ; 0 y 0 ) существует   единственное , проходит через точку  ; 0 y x ( ) 0 2) значение  y  ( 0 т.е.  cx 0 , 0 ) . Примеры: 1.   y    ­   общее   решение   уравнения   сx y  y x   на   всей   плоскости, проколотой в начале координат. 2.   y  2 c  2 x ­   общее   решение   д.у.    y x y   на   всей   плоскости, проколотой в начале координат. Определение: частное решение д.у. Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего   решения   путем   придания   определенного   значения произвольной постоянной,   называется частным решением этого уравнения. Примеры: №1. Найдите частное решение д.у.  y  x y  (6), удовлетворяющее условию y )1( .2 Решение: Общее решение д.у. (6) имеет вид  y  2 c  2 x . Чтобы найти частное решение, положим  1x  и  2y , т.е.  ;2 2  )1(  y y     c  1 41 2 c 2  2 c  2 x ; 2 c  5 . 9 Итак,  y  5 x  2  (знак  ""  выбран с учетом  2y ). Ответ:  y  5 x  2 . Замечание:  наряду с общими и частными решениями д.у. может иметь особые решения.  ) 1 y 2 2  (7); №2.  Подобрать общее решение и особые решения д.у.  ( y построить интегральные кривые. Решение: 1) общее решение ­  y  sin( x  c ) . Интегральные кривые – семейство синусоид. Убедимся   в   том,   что   y  sin( x  c )   ­   решение   д.у.   (7),   подставим y  sin( x  c )  y  и  cos( x  c ) в уравнение 7:  ) 1 y 2 2 ( y 2 cos ( x  c ) sin 2 ( x  11 1) c  ­ верно. 2) кроме этого уравнение (7) имеет два особых решения:  , графики   которых   в   каждой   точке   касаются   проходящего   через   эту   точку 1y 1y и  графика частного решения. 6. Решение упражнений 10 №1. Решите д.у. а)  cos 2 y x 2sin x ; б)   y 1  4 . 2 x Решение: а) y  cos 2 x 2sin x   dxy   cos 2 x 2sin xdx   cos 2 x 2sin xdx  2  cos 3 x sin xdx    2 cos 3 xd cos x  2 x 4 cos 4  c 5,0 cos 4 x  c .  y 5,0 cos 4 x  c . Ответ:  y  5,0 cos 4 x  c .  y б)  1  4 2 x    dxy  dx  4 2 x   dx  4 2 x  1 2   1 2 2  dx    x 2 2    1 d x 2  x  2  1 2     arcsin x 2  c  y arcsin x 2  c . Ответ:  y  arcsin x 2  c . №2.   Решите   д.у.    y x  1 x 2 (8)   и   выделите   интегральную   кривую, проходящую через точку а)  M )1;0( ; б)  )1;0(M ; в)  )0;1(M . Решение:  y x  1 2 x    dxy  x  1 2 x dx  11  x  1 2 x dx  1 2 du  u  1 2  u  2/1 du  2/1 1 u 12 2  c 1  2 x  c Здесь  u  1 2 x  u 2 x du  2 xdx  xdx  1 2 du .  y 1  2 x  c Ответ:  y  1  2 x  c ­ общее решение д.у. (8). а) Так как M )1;0( , то  y )0(  1 01   1 c c 0 . Ответ:  y  1 x  2 . б) Так как  )1;0(M , то  y 1)0(  01   1 c c 2 . 11  0 c c 0 .  Ответ:  y  1  x 2  2 . в) Так как  )0;1(M , то  y )1(  0 Ответ:  y  1 x  2 . 12