Урок математики в 10 классе "Исследование функций"

Муниципальное общеобразовательное учреждение  «Средняя общеобразовательная школа  сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»     Тема: Исследование функций и построение их графиков. Цели:  повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и  экстремумы;  используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика,  строить графики функций;  способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей,  умению  осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы. Планируемый результат урока:  знать необходимые и достаточные условия экстремума;  знать схему построения графиков функций;  уметь по графику производной и изображению знаков производной находить  промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций. Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли». Ход урока: I.  Организационный момент. II. Устный счет.  )2(     1   8     3 8 x   (x  5)7   3)28( x       5 4 x     tg )3( x  cos( x       ) 6     sin( x )5   7  ctg   )2( x     4  cos x 5    III. Сообщение темы и цели урока. Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.    Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков  функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи  объединены по сюжетному принципу.     Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть  общую схему решения. IV. Изучение нового материала. Повторение теоретического материала.  Как находить экстремумы функции? Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y =  f (x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная либо равна нулю, либо  не существует. Если f ´(х) = 0, то х0 – стационарная точка, если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка. Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f  (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или  критическую точку х = х0. Тогда а) x0 – точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.               f '(x)            +                        ­                                            f (x)                               x0                               x     б) x0 – точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.                 f ' (x)         +                         ­                  f (x)                                                                 x в) x0 – точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.                          f ' (x)            ­                      ­                        f '(x)         +                               +             _________________ x0  ________________    x             ________________ x0 __________________x f (x)                                                                             f(x) V. Физминутка. Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и  улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается  еще и слух и зрение.  Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно  опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью  расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох.  Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная  клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте  это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь.  Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.  Это упражнение активизирует кровообращение ног.  Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните  на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.  Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую. VI.  Закрепление изученного материала. Исследование функции по графику производной. Задачи ЕГЭ (группа В) Функция y = f (x)  определена на промежутке [­6; 3]. График производной изображен на  рисунке.                                                                   у                                 y = f ' (x)      f ' (x)   _                 +                          _                    +                         _ ● _______ ______________ __________ ______________ ______________________ f (x)        ­5                           ­2                   0                              2 ● ● ● Задания для учащихся.    1)  Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения: Как называются точки ­5, ­2, 0, 2 ?                 (Стационарные точки) 1) Ответить на вопросы:  Укажите число точек максимума. ( хmax = ­2, хmin = 2).                           Ответ: 2.  Найти число точек экстремумов.                                                              Ответ: 4.  Укажите число точек минимума функции. (xmin = ­5, xmin = 0)               Ответ: 2.  Укажите число промежутков возрастания функции. [­5; ­2],[0; 2].       Ответ: 2.  Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ.                     ­5; ­2; 0; 2    .                                    Ответ: 4.  Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции.   [­2; 0]                          Ответ: 2.  Укажите количество промежутков убывания функции.                         Ответ: 3.  Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5)                     Ответ: 5.  Укажите количество интервалов  убывания функции.                          Ответ: 3.  Схема исследования свойств функции и построение графика функции. Пример 1. а) Построить график функции y = 5x3 – 3x5   1). D (y) = (­ ∞; +∞). 2). Функция нечетная. 3). Нули функции: у = 0      х3 (5 – 3х2) = 0,        х = 0,   х = ±  5 3      4). Промежутки монотонности :            у ' = 15х2 – 15 х4 ,             у ' = 0,  15х2 (1 – х2) = 0            х = 0,  х = ±1 – стационарные точки. у '(х)    ­                   +              +                       ­      ______________________________________________ у(х)              ­1                0                   1                             х хmin  = ­1, xmax = 1, x = 0 –точка перегиба уmin  = у (­1)= ­ 5 + 3 = ­ 2 ymax = y (1) = 5 – 3 =2 y (0) = 0 5). Построим график функции: Задачи централизованного тестирования. 1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х5 ­ 1,5х4 + х3 + 4.      Ответы: 1) 0      2) 1      3) 2     4) 4     5) 5 у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2                                              Решение:                                                              у '   +         +          +                   х 3х2 (х2 – 2х + 1) = 0                            __________________________ х2 (х – 1)2 = 0                                       у           0           1 Нет экстремумов         Ответ: 1 2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х5 ­ 5х3 + 1.      Ответы: 1) 0     2) 1     3) 2     4) 4     5) 5 Решение : у ' =15х4 – 15х2 15х2 (х2 ­ 1) = 0                                    х = 0 – корень четной кратности                                                              у '    +             ­                  ­              +                                                               ___________________________________                                                                   у           ­ 1              0                 1    х = ± 1                                                    Промежуток убывания [­1; 1], длина промежутка 2.            Ответ: 3                                            3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.      Ответы: 1) 0     2) 1     3) 2     4) 3     5) 4 у ' =15х4 – 30х                          Решение: 15х ( х3  ­ 2) = 0                                              у '            +                   ­                +              х = 0, х =   ­ точки экстремумов         ___________________________________ х 3 2                                                                          у             Ответ: 3 4. Найдите значение функции у = 2х2 ­      Ответы: 1) ­       3) ­      2) ­ 3 8 1 3 1 4      4) ­ 1 8  в точке минимума. х       5) 0 Решение:  у ' = 4х ­                                                  1 х2 =0,  8х3/2 – 1 =0, х > 0, х =              1 8  хх х 2    уmin = у ( ) = 2   ­   =   ­  1 4 1 16 1 2 у '                          ­                   + _________ ________________ __________х у                0                         1 2 1 8 ● ○ 1 4  = ­       3 8 1 4          Ответ: 2 5. Найдите количество точек экстремума функции   у =      Ответы: 1) 1     2) 2        3) 3       4) 4       5) 0 Решение: .  3 2 х 2  1  8 3 х 3 х у =  ­  1   4 у ' =  3 28 х 3 х8 ­   +  1 38 х                 3 3 48 х = 0 3 х  2 4 8 х х = ± 1 – стационарная точка х = 0    ­  критическая точка  у '                 +             ­             ­            + ● _______________ ______ ______ _______ х               у                             ­1             0             1 ○ ●         Ответ: 2 хmax = ­1,  хmin = 1 6. Найдите точку минимума функции у = (х ­1 )2  .  х      Ответы:   1) 0    2) 1      3) 2      4) 3      5)  1 5 Решение: у ' =2 (х ­1)  +  х (  х 2 2 )1 х                    ОДЗ. х > 0 =0;         2   х )1 )1 2 хх (4  ( х  х 2  5х2 – 6х +1 = 0           х 1= 1, х2 = 4 4 х  2  = 0;      2  х 2 1 х х  ­ стационарные точки, х = 0 – критическая точка 1 5  х > 0 у '                        +                   ­                 + __________ ________ ________ ________х                        у                 0                  ●              1 ● ○ хmin  = 1 1 5       Ответ: 2 7. Найти количество точек экстремумов функции у =      Ответы: 1) 2     2) 3     3) 1     4) 0     5) 4 Решение: у =  +  ­  7 5 3 х5 9 35 х . 2  9 3 7 х х 3  3 5 х у ' =  ­  ,                     =0 4 3 27 3 25 х 27 45 х х  2 5 х х = ± 3 – стационарные точки х = 0     ­ критическая точка четной кратности у '         +              ­                     ­             + ● ____________ ________ _________ _______ х       у                    ­3                 0               3 ○ ● хmax = ­3,        xmin = 3         Ответ: 1 8. Найдите точку максимума функции у = (х ­1)4   . х      Ответы: 1) 0     2)       3)      4)  1 9 1 6 1 3      5) 1 Решение: у ' =4 (х – 1)3   ;       +  х (  х 2 4 )1 х хх (8  3 )1 2  х ( х  4 )1 =0;          ( х  3 8()1 2  х х х )1 =0 х = 1, х =   ­ стационарные точки 1 9 х = 0 – критическая точка (х > 0) у '              +                      ­                   + ______ _________ _________ _________х             х ● ○ ● max =  1 9 у         0                       Ответ: 4                  1 1 9 VII. Итог урока. Рефлексия.  Повторили условия существования экстремума.  По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли  характер экстремумов.   По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько  решений может иметь уравнение, содержащее параметр.    Познакомились с заданиями централизованного тестирования.  Продолжи предложение:   Я узнал…  Я научился…  Мне понравилось…  Я затруднялся…  Моё настроение…  Материал урока мне был …. VIII. Оценка работ.  На уроке я работал ….  Своей работой на уроке я ….  Урок для меня показался ….  За урок я …. IX. Домашнее задание:  страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ) 1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 ­1,5х4+х3+4.      Ответы: 1) 0      2) 1      3) 2     4) 4     5)5 2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5­5х3+1.      Ответы: 1) 0     2) 1     3) 2     4) 4     5) 5 3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.      Ответы: 1) 0     2) 1     3) 2     4) 3     5) 4 4. Найдите значение функции у = 2х2 ­   в точке минимума.     Ответы: 1) ­      2) ­       3) ­ х       5) 0      4) ­ 1 3 3 8 1 4 1 8 5. Найдите количество точек экстремума функции у =  .  3 2 х 2  1  8 3 х 3 х     Ответы: 1)2     2) 3     3) 1     4) 0     5) 4     Ответы: 1) 1     2)2        3) 3       4) 4       5) 0 6. Найдите точку минимума функции у = (х ­1 )2  .  х      Ответы:   1)0    2) 1      3) 2      4) 3      5)  7. Найти количество точек экстремумов функции у =  1 5 . 2  9 3 7 х х 3  3 5 х 8. Найдите точку максимума функции у = (х ­1)4   . х      Ответы: 1) 0     2)       3)      4)  1 9 1 6 1 3      5) 1