Урок по теме «Основные понятия комбинаторики»

Тема урока: Основные понятия комбинаторики. Тип урока: урок усвоения новых знаний. ЦЕЛИ УРОКА 1. обучающие: ­ формирование основных понятий комбинаторики: размещения из m  элементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из n  элементов; ­ формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных  выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач; 1. развивающие: ­развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и  сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные  способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов  деятельности; 1. воспитательные: ­воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности,  эстетического отношения к оформлению математических решений,  воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в  коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу  сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в  достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда;  прививать чувство патриотизма; Обучающийся должен знать: определения трех важнейших понятий комбинаторики: ­ размещения из n элементов по m; ­ сочетания из n элементов по m; ­ перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их  количества. уметь: ­ отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от  друга; ­ применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач. ХОД УРОКА 1. Организационный момент 2. Мотивация Ребята, каждая группа в течении года дежурит по техникуму  Являются ли бригады дежурных в группах постоянными? Скажите, а  сколько всего существует способов назначить из n студентов группы m  дежурных. В математике есть раздел, который занимается решением  подобных задач. Этот раздел называется комбинаторикой. 2. Сообщение темы, целей урока Тема сегодняшнего урока «Основные понятия комбинаторики». Давайте  вместе попробуем сформулировать цели урока ­ ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения,  сочетания, перестановки) ­ научиться решать простейшие комбинаторные задачи 4. Актуализация опорных знаний Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что  имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам  понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n­ факториалом»? Запишите формулу. Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать  вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном  случае может принимать n? 5. Изложение нового материала 5.1. Введение общих понятий Комбинаторикой называют область математики, которая изучает  вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов. (Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и  решаются задачи выбора элементов из исходного множества и  расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным  правилам.) Группы, составленные из каких­либо элементов,  называются соединениями. Различают три вида  соединений: размещения, перестановки и сочетания. Задачи, в которых производится подсчет возможных различных  соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому  правилу, называются комбинаторными, а раздел математики,  занимающийся их решением, ­ комбинаторикой. Рассмотрим три  основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для  этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам  сосредоточиться на сути новых понятий. 5.2. Создание проблемной ситуации Тексты двух задач: Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные  должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C.  Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица  на эти должности? Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих  спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно  осуществить этот выбор? Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в  какой задаче результат будет больше, и почему. После этого  предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных  вариантов. Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов). Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа). эти задачи оказались похожими только внешне, из­за того, что в обеих  присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 –  количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются  упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок  следования элементов в соединении не имеет значения. А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот  метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные  выражения (формулы) для этих соединений 5.3. Лекция «Основные комбинаторные понятия и формулы» 1. Размещения Определение. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n  элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются  одно от другого либо самими элементами, либо порядком их  расположения. Число размещений из m элементов по n обозначают  французского «arrangement» ­ «размещение») и вычисляют по формуле: (от  Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы: А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3: 1. Перестановки Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначается  формуле:  и вычисляется по  Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали  конструктора, различающиеся по цвету? Ответ:6. 1. Сочетания Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие  соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m  данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере  одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают  «combination» ­ «сочетание») и вычисляют по формуле:  (от французского Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы: А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3: Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем  во второй. Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач. 6. Закрепление материала 6.1.  Задания: Решения: Таблица с ответами: 24 540 720 6720 35 22 60 70 ­2 12 10 7 2 3 1 14 6.2. Решение комбинаторных задач. При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды  соединений. Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт  числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих  выборках: а) судья хоккейного матча и его помощник; б) три ноты в аккорде; в) «Шесть человек останутся убирать класс!» г) две серии для просмотра из многосерийного фильма. Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да. Перестановки из  n элементов Сочетания из m элементов Сколькими способами можно  с помощью букв A,B,C,D  обозначить вершины  четырехугольника? У лесника три собаки: Астра,  Вега и Граф. На охоту лесник  решил пойти с двумя  собаками. Перечислите все  Меняется только  порядок расположения  выбранных элементов Меняется только  состав входящих в  комбинацию элементов, порядок их по n элементов варианты выбора лесником  пары собак. расположения не важен Размещения из m элементов по n элементов Сколькими способами могут  быть распределены I, II и III  премии между 15­ю  участниками конкурса? Меняется состав  входящих в  комбинацию элементов  и важен порядок их  расположения Самостоятельная работа Проверь себя 1.Определите вид соединений: а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только  порядком расположения в них элементов, называются  __________перестановки б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только  составом элементов, называются _______________сочетания в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга  составом элементом и порядком их расположения, называются  _________ размещения 2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их  подсчёта А. 1)сочетания В. 2)размещения С. 3)перестановки 3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно  выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты? Ответ: а)276; б)552. 4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали  сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для  себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов? Ответ:  Подведение итогов самостоятельной работы 7. Подведение итогов урока Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока.  Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные  преподавателем оценки. 8. Домашнее задание Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики»,  «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».