урок по теме "Угол между двумя прямыми" (11 класс математика)

Орг. Момент. Приветствие.

-Здравствуйте, ребята! Все ли у нас готово к уроку: вам понадобятся тетради, ручки, карандаши и линейки. У каждого из вас на парте лежат дополнительные материалы, которые понадобятся на уроке.

Знакомство с темой урока.

-Сегодня мы продолжаем цикл уроков по подготовке к ЕГЭ. Тема урока: Угол между двумя прямыми.

Актуализация знаний

-Давайте повторим  случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

-пересекаются

-параллельны

-скрещиваются

-А каково определение угла между двумя прямыми?

-Углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из углов, образованных при пересечении прямых

-Угол между параллельными прямыми равен 0;

-Углом между скрещивающимися прямыми называется угол  между пересекающимися прямыми, соответственно параллельные данным скрещивающимся.

-Помните ли вы  формулу для нахождения угла между прямыми?

Где a и b –длины сторон треугольника ABC. Соответственно параллельных этим прямым

Решение задач:

№1. (Для самостоятельного решения с последующим обсуждением для самопроверки)

Доказать, что диагональ правильной четырехугольной призмы и не пересекающая ее диагональ основания взаимно перпендикулярны.

	A

Докажем, что D₁B и AC перпендикулярны. D₁D-перпендикуляр к плоскости основания.

DB-проекция наклонной D₁B  на плоскость основания. DB и AC перпендикулярны так как ABCD-квадрат.

Проведем прямую A’B’ через точку B параллельно прямой AC. Так как прямая A’B’ так же перпендикулярна DB, то по теореме о трех перпендикулярах A’C’ перпендикулярна прямой D₁B. И, следовательно, AC перпендикулярна D₁B.

№2 Доказать, что непересекающиеся ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

Произведем параллельный перенос прямой АС до пересечения с прямой SB. Проведем перпендикуляр из точки В на сторону АС- отрезок BX . так как прямые A’C’ и AC параллельны, то ВX также перпендикулярен прямой A’C’. Отрезок SO-высота пирамиды. О

Тогда по теореме о трех перпендикулярах AC перпендикуляран SB.

№3. (В обсуждении решения задачи участвует весь класс, учитель производит запись на доске)

В кубе A…D₁ найти угол между прямыми A₁D и D₁E, где E-середина ребра CC₁

Решение.

(Чертеж к задаче в Приложении 1 рис.1)

Пусть ребро куба равно 1, F- середина ребра BB1. Так как A1Fпараллельна D1E, то искомый угол φ- угол при вершине A1 в треугольнике A1FD. Найдем стороны треугольника A1FD. Из треугольника BFD имеем:FD²=BD²+BF²=2+.

Из треугольника A1B1F получаем: A1F²=A1B1²+B1F²=1+

Из треугольника A1AD имеем: A1D²=A1A²+AD²=1+1=2 В треугольнике A1FD используем теорему косинусов: FD²-A1D²+A1F²-2A1D∙A1Fcosφ, , откуда cosφ=  и φ=arccos

Ответ: arccos

 №4. (В обсуждении решения задачи участвует весь класс, учитель производит запись на доске)

В правильной треугольной призме ABCA1D1C1, все стороны которой равны, найти угол между прямыми AC1 и D1C

Решение.

(Чертеж к задаче в Приложении 1 рис.2)

Пусть ребро призмы равно 1. Проведем CM параллельно AC1. Тогда     (AC1;BC)=        (CM;B1C)=φ.

Из треугольника MC1B1. В котором MC1=AC=B1C1=1 и       MC1B1=120⁰, по теореме косинусов находим: MB1²=1²+1²-2∙1∙1∙(-0,5)=3. Далее из треугольника MCB1, где MC=B1C=, используя теорему косинусов, получаем:

cosφ=  и φ=arccos .

Ответ: arccos

 №5 (Задача для самостоятельного решения с последующей проверкой)

 В кубе A…D1 точки E и F-середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF

Решение.

Произведем параллельный перенос прямой BF до пересечения с прямой AE. Углом между прямой BF и AE будем считать угол F’AE. Найдем этот угол:

AF’==;  AE==; 

F’E=;

Ответ: 0,8

Домашнее задание

В правильной шестиугольной призме A…F1. Все ребра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1

Пусть все ребра призмы имеют длину равную 1.

Перенесем прямую AB₁ до пересечения с прямой BC₁ , получим прямую BB₁ ‘

Тогда:

BC₁ ²=BC²+CC₁ ²=1+1=2

(BB₁ ‘)²=BB₁ ²+(B ₁ B₁ ‘)²=1+1=2

По теореме косинусов:

(B ₁ C ₁ ‘)²=B₁ C ₁ ² =1+1-2=1

Найдем угол между прямыми:

=0,75

Ответ: 0,75