Урок по теме "Вычисление площадей"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная  школа №18 г. Энгельса Саратовской области». Конспект урока по алгебре в 11 классе по теме:  «Вычисление площадей» .                                                           Провела                                                                                  учитель математики                                                                                  Пастухова Н.А. г.ЭНГЕЛЬС – 2018 Обучающая   цель:   закрепить   навыки   вычисления   интеграла,   нахождения   рационального способа вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, с помощью интеграла. Развивающая   цель:   систематизировать   способы   нахождения   площади   фигуры, ограниченной линиями. Воспитательная цель: учить аккуратному оформлению заданий. Ход урока. I. Фронтальный опрос по теории. II. Математический диктант (со  взаимопроверкой) III. Решение упражнений IV. Самостоятельная работа V. Подведение итогов урока. Домашнее задание I.   1)Дать определение криволинейной трапеции. 2)Сформулировать теорему, позволяющую находить площадь криволинейной трапеции. 3)Написать формулу Ньютона – Лейбница. 4)Геометрический смысл интеграла. 5)Описать   способ   вычисления   площади   заштрихованной   фигуры,   используя геометрический смысл интеграла.      6) Существует ли интеграл   ? 2 dx  22x  2 II. Математический диктант (со взаимопроверкой) Задание на плакатах на 2 варианта, с обратной стороны ответы. Вычислить интеграл:                  I вариант.                                                                    II вариант. а)  в)  ;  4 0  cos x  dx sin x  4 0  2 2  x 2( 2 0 )5  ( dx x 2  )5 x ;  6 2 0 б)   x dx 3 2 ; 2 x 2 3 2  5,2 г)  x  dx 1 2 cos 2 x .  2  4  1 2  4  2sin  4  а)  б)   sin  2  3 x  dx cos x 2  x dx 3 0 3 x 3 3 0  9 ;  1 2  2  3 ; в)  2 x )  dx x 2( 2 x ) ;  4 2 0  32( 2 0 г) 2 x  dx 1 2 2sin x .  2  4  1 2  2  cos  4  “5” – нет ошибок, “4” – 1 ошибка, “3” – 2 ошибки. III. №364 (а)  y=x3; y=8, x=1, S ­ ?            Решение: y=x3 – степенная функция, график симметричен  относительно начала координат x y 0 0 y=8 – прямая, параллельная оси х. x=1 – прямая, параллельная оси y. 1 1 2 8 Найдем абсциссы точек пересечения графиков y=x3 и y=8. x3=8, х=2. Площадь искомой фигуры равна разности площадей  прямоугольника EBCD и криволинейной трапеции EACD       S=SпрEBCD –Sкр. т.EACD SпрEBCD =ED∙СВ=1∙8=8, Sкр. т.EACD= 2  x 1 4 x 4 2 1 16 4 3  dx  3 1 4 15 4 . 3 4 S=8­ = . 4 1 4 3 3 4 Ответ:  . 4 1 4 №365(в) у=х2;  у=2х.                      Решение.       у=х2 – квадратичная функция, график– парабола ветви направлены вверх, так как а=1, а>0 вершина параболы (0;0).Построим график с помощью шаблона.       у=2х – линейная функция, график – прямая. x 0 1 y 0 2 Найдём абсциссы точек пересечения графиков у=х2 и у=2х х2=2х х2 – 2х = 0 х(х – 2)=0 х=0 или х­2=0,               х=2. Площадь искомой фигуры равна разности площадей треугольника АВС и криволинейной трапеции АВС. S=SΔABC – Sкр. т.ABC SΔABC= = ∙AC∙BC= = 1 2 Sкр. т.ABC= 2  x 0 2  dx 3 x 3 1 2 2 0 ∙2∙4=4.  2 3 2 3 8 3 . 2 3 S=4­ . = 1 1 3 2 2 3 Ответ:  . 1 1 3 Задание: Вычислить интеграл, используя геометрический смысл интеграла. a  adx  0 a x , 2 2  a В.  Что представляет собой график подынтегральной функции  ? y  2 a  2 x    y  ,0 2 y 2  a ;2 x y  ,0 2 y 2  a x ;2  ­ уравнение окружности с центром (0;0) и радиусом а, так как  ,  0y то уравнение полуокружности I и II четверти. В. Чему равна площадь полукруга радиуса а?  . 2  a a  a 2 x dx 2   a 2 Пример. 1) Вычислить                  2) Вычислить  2  4  2 0  4  2 . 2 x dx 2   2 2   2 .   x 2 dx 2   2 4 IV. Самостоятельная работа (на 3 варианта). III вариант – сильным. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (использовать шаблон y=x2) I вариант. y=­x2+4; y=0  Решение. y=0 – ось Ох II вариант. y=­x2+1; y=0  Решение. y=0 – ось Ох y=­x2+4 – квадратичная функция, график –  парабола, ветви вниз, так как а=­1, а<0,   вершина параболы (0;4). Найдем абсциссы  точек пересечения графиков y=­x2+4 и y=0. y=­x2+1 – квадратичная функция, график –  парабола, ветви вниз, так как а=­1, а<0,   вершина параболы (0;1). Найдем абсциссы  точек пересечения графиков y=­x2+1 и y=0.   ­x2+4=0, x2=4, 2x .         ­x2+1=0,  x2=1, . 1x Площадь заштрихованной фигуры  находится по формуле   (  ( dx )4   2 x )4 x S 3 x 3 2  2 2  2  ( 3 2 3  )24   ( 3  )2( 3  ))2(4   8 8 3 8 3  8  16 16 3  10 . 2 3 Ответ:  . 2 3 10 Заштрихованная фигура симметрична  относительно оси у, её площадь равна двум  площадям криволинейной трапеции OBC. S=2∙SOBC. S OBC   ( 1 0 2 x  )1 dx  (    1 0 3 x 3  x )  1 3  01 . 2 3 S 1 2 2 3 4 3 . 1 3 Ответ:  . 1 1 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  III вариант. y=x2; y=4.  Решение. y=4 – прямая параллельная оси Ох y=x2 – квадратичная функция, график –  парабола, ветви вверх, так как а=1, а>0,   вершина параболы (0;0). Найдем абсциссы точек пересечения графиков y=x2 и y=4.        x2=4, 2x . Решение. y=9 – прямая параллельная оси Ох y=x2 – квадратичная функция, график –  парабола, ветви вверх, так как а=1, а>0,   вершина параболы (0;0). Найдем абсциссы точек пересечения графиков y=x2 и y=9.        x2=9, 3x . Площадь заштрихованной фигуры равна  разности площадей прямоугольника ABCD  и  криволинейной трапеции ABOCD.   S=SABCD – SABOCD.  SABCD=AB∙АD=4∙4=16 2 2 3 2 dx   x  2 x 3  3 2 3  2 S ABOCD    3  )2( 3  5 8 3 16 3 8 3 S 16 5 Ответ:  10  10 . 1 3 2 3 . . 1 3 2 3 Заштрихованная фигура симметрична  относительно оси у, её площадь равна  двум площадям фигуры, площадь которой равна разности прямоугольника OECD и  криволинейной трапеции OCD. S=2∙(SOECD ­  SOCD). SOECD= =OD∙DC= =3∙9=27. .   x 3 0 2 dx  3 x 3 ) 3 0  9 27 3 S OCD Задание на доске. y=x2; y=9.  S=2∙(27–9)=2∙18=36. Ответ: 36. V. Подведение итогов урока. Домашнее задание: п.30 №363 (а, г),  №364 (б, в), повторить п.19 «Жизнь   украшается   двумя   вещами:   занятием   математикой   и   её преподаванием». С.Д. Пуассон