Урок-семинар "Приложение определённого интеграла"

Тема: «Приложения определенного интеграла» Форма урока: Семинар Цели урока: учебные цели:  а) вывод формул (на основе определения определенного  интеграла), б) формирование навыков использования полученных формул для решения задач; развивающие цели:  а) развитие навыков исследовательской работы, б) развитие навыков выступления перед аудиторией; воспитательные цели:  а) развитие навыков работы в группе, б) формирование навыков ведения дискуссий. Учебное содержание семинара: I. Урок 1. Формулы для нахождения объема произвольного тела  и тела вращения. Применение этих формул для решения задач  (представляет 1 подгруппа). 2. Формула длины кривой. Решение задач с  использованием этой формулы (представляет 2 подгруппа) II. Урок 1. Формула для вычисления перемещения при  прямолинейном движении. Решение задач (представляет 3  подгруппа). 2. Формула для вычисления работы при перемещении  тела при прямолинейном движении    (представляет 4 подгруппа).  Решение задач. 1 III. Урок 1. Формула для вычисления силы давления жидкости на  тело, опущенное на заданную глубину (представляет 5  подгруппа). Решение задач. 2. Формула для массы тонкого стержня заданной длины  (представляет 6 подгруппа). Решение задач. Содержание исследовательской работы (при подготовке к семинару): 1) 2) работа с литературой; самостоятельная доработка выводов формул; подбор и решение задач; самостоятельная работа по составлению задач. 3) 4) Литература: С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том  Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 2 А.Г.Мордкович, А.С. Солодовников. Математический анализ. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. Задача №1: Объем тела (представлено 2­ой группой) Рассмотрим тело Р, заключенное  между параллельными плоскостями и , каждая из которых перпендикулярна  оси абсцисс, причем  Разобьем    точками, так что bà; îõ  ,à îõ  b . à  õ 0 x 1  ... x i  1  b ... x n x i  и  проведем через эти точки плоскости, параллельные плоскостям и   (и  2 перпендикулярно оси  îõ ). При пересечении тела с плоскостью, проходящей  через точку  1õ , получим сечение площадью  1S ; при пересечении тела  плоскостью, проходящей через точку  при пересечении тела плоскостью, проходящей через точку  2õ  получим сечение площадью  1iõ  получим  2S  ; … ; сечение площадью  плоскостью, проходящей через точку  1iS ; при пересечении тела сечение площадью  Функция  )(xS iS ;… ­ непрерывна на  iõ  получим bà; . Обозначим   x i x i x i 1  и рассмотрим  i xS  ­ объем прямого  i криволинейного цилиндра с основанием  iS и высотой  ix При  0 ix :   V i lim  x 0 i  xS i i Т.к. объем обладает свойством аддитивности, то n n V   V i  lim  x 0  xS i i i i i  1  1 Т.к. сумма пределов равна пределу суммы, то V  lim  0 x i n  i  1  xS i i  dxxS )( b a  (по определению определенного интеграла) Итак, объем тела вычисляется по формуле:  V  b a dxxS )(   Задача №2: Объем тела вращения. (представлено 4­ой группой) Рассмотрим трапецию (криволинейную), ограниченную графиком функции  y  )(xf ,  x  и  x и  b осью абсцисс, а также  прямыми  тело вращения, образованное при вращении  a этой трапеции вокруг оси абсцисс/ 3 Найдем объем тела вращения, используя формулу для вычисления  объема тела:  V  xS )( dx . b a Т.к. сечение тела вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси  вращения, является кругом, то  )( xS  2 xR )( . Кроме того, для нашего тела  вращения  xR  )( )( xf . Следовательно  V  b a )(2 dxx f . Итак, объем тела вращения вычисляется по формуле:  V  )(2 x f dx . b a Задача №3 : Формула длины дуги. (представлено 1­ой группой) 1. Пусть  y  )(xf  – непрерывная и дифференцируемая на отрезке  bà;   функция,  графиком которой является плоская кривая. 2. Разобьем отрезок  bà;   следующим образом:    ... à x k õ 0 x 1  1 x k  b ... x n 3. На кривой  y  )(xf отметим  точки:  0M с абсциссой  0x , 0M с абсциссой  0x , 1M с абсциссой  1x , ……………………. kM с абсциссой  kx , ……………………. nM с абсциссой  . k MMMMM ...2 ... 1 0 n nx ;соединим эти точки и получим ломанную линию 4. Выразим длину звена  k MM 1 k : 4 по теореме Пифагора:   2 x k y 2 k k , где  kx ­ приращение  ky ­ соответствующее приращение  аргумента на отрезке  функции. x k ;1  k 1 MM k x , а  5. Применяя теорему Логранжа получим:  , где  x k  1 x k  x k k 2   f 1 MM )(  1 k  :    P f n 1 2 n  )(  x k  k 1  и есть длина дуги,  6. Выразим периметр ломанной  nMMM ...1 0 7. Предел этой суммы при  заданной функцией  y  )(xf n  и   на отрезке  max bà;  kx 0 .  l Итак:  lim  n  max x  k 0 n   1 k  f 2 1  )(  x k 5 В правой части равенства имеем предел интегральной суммы для  функции   2x )( f )( x 1 , следовательно по теореме о пределе интегральной суммы  получаем, что   l 2  f 1 dxx )( . b  a Вывод: длина отрезка кривой, задаваемой функцией y  )(xf  при ; bà  x  вычисляется по формуле:   l 2  f 1 x )( dx b  a Примеры задач на вычисление длины дуги. (представлено 1­ой  группой) 1. Найти длину окружности радиуса  r . Для этого будем использовать формулу   l  y 2 1 dx .  b  a Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом  r .  6 Уравнении этой окружности имеет вид:  2 x  r y 2 2 . Откуда выразим  y : y  r 2 2 x . Но зависимость  y  r 2 2 x  не является функцией, поэтому  рассмотрим функцию  верхняя полуокружность.  y 2 r  2 x ,графиком которой при    x rr ;  является   2 r  ,  r x  2 x  y 2 2 x  . 2 x 2 r b  . r Найдем квадрат производной этой функции:  y Определим также пределы интегрирования:  a Итак, используем формулу:  l b  a  y dx 2 1 r   r  1 2 x  2 x 2 r dx r  r   rdx  2 r 2 x Применим свойство интеграла четной функции на симметричном  отрезке:   r  r rdx  2 r 2 x  2 r  0 2 r  rdx  2 r 2 x r  r 0 rdx    1 2 x r     2 r 1  r 0 d x r  x  r  1 2     2 r  arcsin x r r 0   2 r (arcsin 1  arcsin 2)0  r  r  2 Итак, длина верхней полуокружности равна  r , следовательно, длина  всей окружности  r2 . Ответ: Мы подтвердили известную формулу  lîêð 2 r . 2. Найдите длину линии  y  x x 2  arcsin x 1) Так как данная функция ограничена, то прежде всего найдем ее  область определения: 7    1;0   ;0   x x      2 0 x  0 x x      xx 0)1 (  x 0      )( yDx   1;0  )( yD   Следовательно, пределы интегрирования:  a ,0  b 1 . 2) Общая формула для вычисления длины дуги:   l Найдем производную нашей функции: 2  y 1 dxx )( b  a  y 2  2 x x 21   x А также квадрат производной этой функции: 21 2 x 1 1 1 x   x x 1 2  x x   x 2 x , 2     2 y ( x 2  x 1( )  2 1()   1(  x 1( 2 x ) 2 ) x x ) 2 1  x .  x 3) Итак, используем формулу:  l   b a 2  y 1 )( x dx   1 0  1 x dx 1  x 1 dx   x 0  2  2 . x 1 0 Ответ: длина линии  y  x x 2  arcsin x  равна 2. 8 Домашнее задание: №1 Найти длину эллипса, заданного уравнением:     x 2 2   1  y 2 №2 Убедиться в том, что длина синусоиды  y sin x , соответствующей  периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого равны  2 и 1. Примеры задач на вычисление объемов тел вращения. (представлено 5­ой группой) 1. Вычислить объем конуса, высота которого ­  h , а радиус основания ­ r . Рассмотрим конус, как тело вращения,  полученное при вращении прямоугольного  треугольника АОB вокруг катета OB, причем OB= h и AB= r . Выберем прямоугольную  систему координат, так что: OB ox  и   OAB ïë . xoy . Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой для объема  тела вращения:  V  )(2 f dxx b a . Определим пределы интегрирования:  Графиком функции  )(xf a  ,0 h b .  является прямая, значит  )(xf  ­ линейная  функция, а следовательно  )( xf kx , причем  k  . tg Рассмотрим треугольник AOB:  tg  AB OB  r h Итак,  )( xf r h x . Следовательно V h      0 r h x 2    dx   2 2 r h h  x 0 2 dx   2 2 r h 3 x  3 h 0   2 2 r h 3 h  3 1 3  2 hr Ответ:  Vêîíóñà 1 2 hr 3 . 2. Вычислить объем шара, радиусом R.  9 Рассмотрим шар как тело вращения,  полученное при вращении полукруга вокруг  граничного диаметра, причем радиус полукруга –  R.  Выберем прямоугольную систему координат  так, что центр полукруга совпадает с началом координат, граничный диаметр  лежит на оси абсцисс, а сам полукруг – в плоскости  xoy . Для вычисления объема шара воспользуемся формулой для объема тела вращения:  V  f b a )(2 dxx . Определим пределы интегрирования:  Графиком функции  )(xf a  , RbR  .  является полуокружность с центром О. Уравнение окружности с радиусом R и центром в начале координат  , причем для верхней  , откуда следует    R R y x x y 2  2 2 2 имеет вид:  2 полуокружности  y  2 R  2 x . Итак,  )( xf  2 R  2 x , а  f 2 )( x Следовательно, объем шара:  R 2 2 x . V  R    ( R 2 R  2 x ) dx      2 x R  3 x 3 R         R 3 R     3 R 3        3 R  3 R 3           3 R  3 R 3  3 R  3 R 3    4 3  R Ответ:  Vøàðà  R 4 3 3 Задание на дом: №1 Вычислить объем пирамиды площадь основания которой равна S, а  высота H. №2 Вычислить объем тела, образованного при вращении фигуры,  ограниченной линиями:  2 y  yx ,4  0  и  4x  вокруг оси  ox . 10