Урок ''Системы счисления''

муниципальное бюджетное образовательное учреждение Михейковская средняя школа Открытый урок по информатике на тему: «Системы счисления» Составил и провёл: учитель высшей категории Лавнюженков Сергей Павлович 2016­2017 учебный год. 2 Аннотация к уроку. Учитель: Лавнюженков Сергей Павлович Предмет: Информатика Класс: (средний уровень обучения) Уровень преподавания: базовый Тема: «Системы счисления» Цели: 1. Обучающая: сформировать у учащихся знания о системах счисления, видах систем счисления, способах перевода числа в различные системы счисления, умению проводить операции с числами в различных системах счисления. 2. Развивающая: продолжить формирования у учащихся ряда умений частично­ поисковой познавательной деятельности: осознать проблему, делать выводы и обобщения. Перейти от умения применять ранее полученные знания в знакомой ситуации   к   умению   использовать   их   в   несколько   изменённой   ситуации, продолжить развитие политехнического образования. 3. Воспитательная: возбудить   у   учащихся   интерес   к   учебному   материалу   и познавательным   действиям,   продолжить   формирование   у   учащихся   основ научного мировоззрения. Задачи: 1. Научить учащихся применять знания данной темы на практике. 2. Активизировать устную речь учащихся. 3. Развивать логическое мышление. 4. Формировать навыки самоконтроля. 5. Проанализировать типичные ошибки при выполнении заданий. 6. Воспитывать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам.   обеспечивающие   достижение Формы   и   виды   деятельности, поставленной цели: 1. Фронтальная устная работа. 2. Общеклассная и индивидуальная работа. 3. Самостоятельная работа с элементами самопроверки. 4. Компьютер 5. Применение   словесных,   наглядных,   практических   и   поисковых   методов обучения. 3 1.Орг. момент 2.Изучение нового материала. Ход урока: Система счисления ­ это способ выражения и обозначения чисел. Обратимся к истории Как только люди научились считать, они стали записывать числа. Каждый народ придумывал свои способы записи. В   Древнем   Вавилоне  использовались   всего   2 знака ­ (клинопись).   Но   считали   они   не десятками, а по 60 (однако числа до 60 записывались в «десятичном варианте»).  «по вавилонски» = 60х5+ 10х4+1х3 = 343 В Древнем Египте был свой знак на 1, 10, 100, и т.д.  «по египетски» = 100х3 + 10х4 + 1х3 = 343 В Древнем Риме СССХLIII «по римски» = (100+100+100) + (­10+50) + (1+1+1) = 343 Римская система записи чисел сохранилась до сих пор. Цифрами в ней являются: I ­один , V ­ пять, X ­ десять, L ­ пятьдесят, C ­ сто, D ­ пятьсот, M ­ тысяча.  На Руси сборщики податей таким способом заполняли квитанции об уплате податей (ясака). Указана сумма в 1232 руб. 24 коп.  Закон гласил:  «Кроме изложения словами, должно быть показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек,   чтобы   сдающие   простым   счетом   сего   числа   могли   быть   уверены   в   справедливости показания.   Употребляемые   в   квитанции   знаки   означают:   звезда   ­   тысяча   рублей,   колесо   ­   сто рублей, квадрат ­ 10 рублей, X ­ один рубль, IIIIIIIIII ­ десять копеек, I ­ копейку. Дабы не можно сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом». 4 Позднее,   вплоть   до   17 века   на   Руси   в   качестве   цифр   использовались   буквы   алфавита,   над которыми ставился особый знак ­ титло. До настоящего времени подобная система записи чисел сохранилась в церковных книгах. У всех этих систем есть общее. Каждая цифра имеет определенное значение независимо от того, где она стоит в записи числа. Виды систем счисления. Непозиционная система счисления ­ система, в которой значение числа, выражаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа. К середине VIII века в Индии получила широкое применение позиционная система счисления. Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом из Хорезма (территория нынешнего Узбекистана). Оно было переведено в Европе на латинский язык в XII веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.  Позиционная система счисления ­ система, в которой значение числа, выражаемое цифрой, зависит от положения (от позиции) цифры в записи числа. Сравните: VI и IV в непозиционной системе записи чисел, 51 и 15 ­ в позиционной. В   позиционных   системах   счисления   определяющим   является   понятие   основания   системы счисления. Основание   позиционной   системы   счисления ­ это   количество   различных   знаков   или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Любое число в позиционной системе счисления может быть представлено в виде: an­1 kn­1 + an­2 kn­2+ ... + a1 k1 + a0 k0 + a­1 k­1 + ... + a­m k­m, где k ­ основание системы счисления, ai ­ цифры системы счисления (0 <= ai < k); n и m ­ число целых и дробных разрядов, соответственно. Так, полная запись десятичного числа 2094,37 выглядит следующим образом: 2x103  + 0x102  + 9x101  + 4x100  + 3x10­1  + 7x10­2. Для краткости  принято записывать  только коэффициенты   (множители)   при   соответствующих   степенях   основания   системы   счисления (2094,37). В любой позиционной системе счисления количество цифр равно основанию системы счисления, младшая цифра ­ ноль, а старшая цифра всегда на единицу меньше, чем основание системы! Двоичная система ­ две цифры: 0 и 1. Троичная ­ три цифры: 0, 1, 2. Четверичная ­ четыре цифры: 0, 1, 2, 3. Восьмеричная ­ восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Двенадцатеричная ­ двенадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Здесь латинские буквы A и B обозначают числа 10 и 11 соответственно. Шестнадцатеричная ­ шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 5 Здесь латинские буквы A, B, C, D, E, F обозначают числа 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно. 6 Перевод чисел из k­ричной системы в десятичную. Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную, надо записать его полную форму и провести вычислительные действия. 2358 = 2x82 + 3x81 + 5x80 = 2x64 + 3x8 + 5x1 = 128 + 24 + 5 = 15710 20113 = 2x33 + 0x32 + 1x31 + 1x30 = 2x27 + 0x9 + 1x3 + 1x1 = 54 + 0 + 3 + 1 = 5810 B09D16 = 11x163 + 0x162 + 9x161 + 13x160 = 11x 4096 + 0x256 + 9x16 + 13x1 = 4521310 Перевод чисел из десятичной системы в k­ричную. При   переводе   целого   десятичного   числа   в   систему   с   основанием   k   его   необходимо последовательно делить на k до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный k­1. Число в системе с основанием k записывается  как последовательность остатков от деления, включая нули, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Пример 1. Пусть нужно перевести число 200010 в восьмеричную (k=8) систему счисления. Действуем так: 2000 : 8 = 250 (ост. 0) 250 : 8 = 31 (ост. 2) 31 : 8 = 3 (ост. 7) 3 : 8 = 0 (ост. 3) Теперь запишем все остатки, не забывая о нулевых, с последнего до первого: 3720 Это и будет искомое представление. Ответ: 200010 = 37208. Пример 2. Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Ответ: 7510 = 10010112 = 1138 = 4B16 Пример 3. Перевести число 472 из десятичной системы в двоичную. Применение правила деления можно записывать «лесенкой», как в предыдущем примере, а можно оформлять в виде таблицы. Это удобно, особенно когда исходное число большое, или основание новой системы маленькое. Число 472 236 118 59 29 14 7 3 1 Делитель 2 Остаток 0 2 0 2 1 2 1 2 0 2 2 2 1 1 1 2 0 7 Ответ: 47210 = 1110110002. 8 Двоичная арифметика В логических схемах компьютера сравнительно просто и надежно реализуются два устойчивых состояния, для кодирования которых достаточно двух цифр ­ 0 и 1. Поэтому двоичная система счисления – «внутренний язык» компьютера. Рассмотрим, как производятся арифметические действия в двоичной системе счисления. Сложение. Правила сложения двоичных чисел. а) 0+0=0 б) 1+0=1 в) 0+1=1 г) 1+1=10 д) 1+1+1=(1+1)+1=10+1=11 Переход   в   следующий   разряд   в   двоичной   системе   происходит,   когда   сумма   чисел превышает 1. Пример 4. Сложить двоичные числа: 1010112 и 11012. Запишем эти числа столбиком и проведем поразрядное сложение,.   1010112 +       11012   ­­­­­­­­­­   1110002 Как   видите,   сложение   двоичных   чисел   происходит   по   обычным   правилам   сложения, отличие состоит в том, что переход в следующий разряд происходит при сумме чисел, превышающих 1, а не 9, как в привычной нам десятичной системе.  Рассмотрим процесс сложения двоичных чисел подробно.  Разряды чисел 5 4 3 2 1 0 Первое слагаемое 1 0 1 0 1 1 Второе слагаемое     1 1 0 1 Сумма 1 1 1 0 0 0 а) Начинаем   сложение   с   нулевого   разряда.   1+1=10.   0   остается   в   нулевом   разряде,   1 переходит в старший (левый) разряд. б) В   первом   разряде   1+0=1,   но   из   младшего   (правого)   разряда   пришла   1,   поэтому складываются 3 числа: 1+0+1=10. 0 остается в первом разряде, 1 переходит во второй разряд. в) Второй разряд. 0+1=1, +1 из первого разряда. 1+1=10, 0 остается во втором разряде, 1 ­ переходит в третий разряд. г) Третий разряд. 1+1=10, +1 из второго разряда. 10+1=11. 1 остается в третьем разряде и 1 переходит в четвертый разряд. 9 д) В четвертом разряде имеется 0 от первого слагаемого, и 1 пришла из третьего разряда. 0+1=1. 1 записывается в четвертом разряде суммы. е) В пятом разряде суммы записываем 1 от первого слагаемого. 10 Вычитание. Правила вычитания двоичных чисел. а) 0­0=0 б) 1­1=0 в) 1­0=1 г) 10­1=1 При переходе 1 из старшего (левого) разряда в младший (правый) разряд, в нем образуется две единицы. Пример 5. Найти разность двоичных чисел: 1010112 и 11012. Запишем эти числа столбиком и проведем поразрядное вычитание.   1010112 ­       11012   ­­­­­­­­­­     111102 Рассмотрим процесс вычитания двоичных чисел подробно.  Разряды чисел Уменьшаемое Вычитаемое Разность 5 4 3 2 1 0 1 0 1 0 1 1     1 1 0 1   1 1 1 1 0 а) Начинаем вычитание с нулевого разряда. 1­1=0. В нулевом разряде разности запишем 0.  б) В первом разряде 1­0=1. 1 запишем в первом разряде разности.  в) Второй   разряд.   Вычитание   0­1   в   пределах   второго   разряда   провести   нельзя,   поэтому обращаемся к третьему разряду уменьшаемого. 1 из  третьего разряда во втором дает две единицы (1+1). Поскольку (1+1)­1=1, во втором разряде разности запишем 1.   г) Третий   разряд.   1   из   третьего   разряда   перешла   во   второй,   поэтому   в   третьем   разряде уменьшаемого в данный момент записан 0. Для того, чтобы можно было провести вычитание в третьем разряде, необходимо "занять" 1 в четвертом разряде. Но там стоит 0. Обращаемся к пятому разряду. 1 из пятого разряда при переходе в четвертый дает две единицы (1+1). Одна 1 остается в четвертом разряде, а другая переходит в третий и там также дает две 1 (1+1). Теперь можно провести вычитание в третьем разряде. (1+1)­1=1. Запишем 1 в третьем разряде разности. д) В четвертом разряде уменьшаемого числа имеется 1, пришедшая из пятого разряда, запишем ее в четвертом разряде разности.   е) Из пятого разряда уменьшаемого числа 1 ушла в четвертый, поэтому в пятом разряде суммы ничего не пишем (в начале числа можно записать один 0 или несколько, они не являются значащими, то есть 00011110=011110=11110). 11 Умножение. Правила умножения двоичных чисел. а) 0∙0=0 б) 1∙0=0 в) 0∙1=0 г) 1∙1=1 Пример 6. Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 102. Запишем эти числа столбиком и проведем последовательное умножение, а затем поразрядное сложение полученных чисел.   1012  х     102    ­­­­­­­­­­   000  +  101  ­­­­­­­­   10102  При   умножении   больших   чисел   следует   аккуратно   записывать   промежуточные   слагаемые, сдвигая каждое следующее число влево на один разряд. При сложении трех и более чисел надо тщательно   следить   за   переходом   чисел   в   левые   разряды,   помнить   при   этом,   что   одну   1 старшего (левого) разряда дают две 1 младшего (правого) разряда.  Деление. Деление   двоичных  чисел  основано  на  сравнении   остатка от  деления  с  делителем  при последовательном вычитании и сдвиге чисел вправо.  Пример 7 . Число 11112 разделить на 112.  После первого вычитания остаток равен 0. После записи первой 1 во втором уменьшаемом в частном записываем 0, поскольку 1 нельзя разделить на 11. Далее из делимого сносим вторую 1 во второе уменьшаемое и производим второе вычитание, которое дает 1 в нулевом разряде частного. Результат ­ частное от деления числа 11112 на 112 равно 1012 . 12 Контрольная работа 1. Переведите число 5510 в двоичную систему счисления  2. Переведите число 8610 в восьмеричную систему счисления  3. Переведите число 7610 в шестнадцатеричную систему счисления  4. Переведите число 10010012 в десятичную систему счисления  5. Переведите число 22013 в десятичную систему счисления  6. Переведите число 3435 в десятичную систему счисления  7. Найдите сумму двоичных чисел 11000102 + 1110002 (в двоичной системе счисления).  8. Найдите разность двоичных чисел 1000001012 ­ 10011012 (в двоичной системе счисления).  9. Найдите произведение двоичных чисел 10002 и 1112 (в двоичной системе счисления).  10. Найдите частное от деления числа 1000001012 на число 111012 (в двоичной системе  счисления).  13