В стране треугольников

В стране треугольников       Собрались однажды треугольники и решили выяснить: кто из них главнее всех.  Равносторонний треугольник говорит: "Я самый главный, потому что у меня три оси  симметрии. Кто знает, почему я имею столько осей симметрии? (Ответ: Потому что в  равностороннем треугольнике биссектрисы являются высотами и медианами). У меня  совпадают центры вписанной и описанной окружностей. А вы знаете почему? (Ответ: т.к.  центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров,  центр вписанной окружности ­ в точке пересечения биссектрис, а у равностороннего  треугольника биссектрисы являются еще и серединными перпендикулярами, поэтому  центры окружностей совпадают). У меня все углы равны и знаете, сколько градусов  содержит каждый угол? (Ответ: 60О.). У меня...". "Хватит, хватит хвастаться, ­ сказал Прямоугольный треугольник, ­ что хорошего в том,  что у тебя все стороны равны? Они у тебя все называются сторонами, а вот у меня для  каждой есть свое название. Можете сказать, как они называются? (Ответ: первый катет,  второй катет и гипотенуза). Знаете, что у меня один из углов не меняется? Чему он равен?  (Ответ: 90О). Может, вам интересно узнать, что сумма двух моих острых углов тоже не  меняется? Чему она равна? (Ответ: 900). Кто еще может этим похвастаться? Ну и что ж  что центры окружностей у меня не совпадают, зато центр описанной окружности у меня  лежит в особой точке. Скажите, где лежит центр описанной около прямоугольного  треугольника окружности? (Ответ: На середине гипотенузы). А вот если два равных  прямоугольных треугольника приложить друг к другу гипотенузами, то какая фигура  может получиться? (Ответ: Прямоугольник). Правда, осей симметрии у меня поменьше, а  если точнее, ось симметрии может быть только в одном случае. Можете угадать, в каком  случае я буду иметь ось симметрии? И сколько осей у меня может быть? (Ответ: Если  катеты равны. Только одна)". "Ох, ох, ­ сказал Тупоугольный треугольник, ­ какие вы все хвастливые. А обо мне забыли?  Я тоже что­то значу! Ведь центр описанной около меня окружности называется особой  точкой, и знаете ли вы, где она располагается? (Ответ: За пределами треугольника). И  окружность у меня самая большая. И ось симметрии у меня есть. Можете ли вы сказать,  какое условие должно выполняться, чтобы в тупоугольном треугольнике была ось  симметрии? (Ответ: Треугольник должен быть равнобедренным). Так что, друзья, нам  совсем не нужно доказывать, кто из нас главнее, ведь все мы обладаем признаками  равенства треугольников. Может, кто­то забыл эти признаки? Назовите все три признака  равенства треугольников. Каждый из нас, треугольников, может быть равнобедренным.  Какие треугольники называются равнобедренными? (Ответ: У которого две стороны  равны). А каким замечательным свойством обладает равнобедренный треугольник! Кто  может сформулировать свойства углов равнобедренного треугольник? (Ответ: В  равнобедренном треугольнике углы при основании равны). А если рассмотреть медиану  равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, то можно просто восхититься ее свойствам. Вы помните их? (Ответ: В равнобедренном треугольнике медиана является и  биссектрисой, и высотой). Так что, дорогие мои, у нас очень много общего, мы обладаем общими свойствами и  подчиняемся общим законам. У всех у нас центры описанной и вписанной окружностей  называются особыми точками, а где они располагаются ­ не столь важно". Выслушали треугольники эту пламенную речь и задумались: действительно, все они нужны, все они важны и в природе каждому есть место. "Сказка ­ ложь, да в ней намек, добрым молодцам ­ урок".  А теперь давайте порешаем задачи. Задачи к уроку  Задача 1: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 600. Найдем углы  треугольника. Решение:   Дано: АВС ­ равноб. Р В = 600 Найти: Р А и Р С. Решение: Т.к. АВС ­ равнобедренный,  то Р А = Р В (как углы при основании).  Р А + Р В + Р С = 1800, Р А + Р С = 1800 ­ 600 = 1200 Р А = 1200 : 2 = 600. Ответ: Р А = Р С = 600. Задача 2: Центры описанной около треугольника окружности и вписанной в треугольник  совпадают. Определите вид треугольника.  Решение: Т.к. центры окружностей совпадают, а мы знаем, что центр описанной  окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, а центр вписанной  окружности ­ в точке пересечения биссектрис, то при совпадении центров совпадают  серединные перпендикуляры с биссектрисами. Это возможно только в равностороннем  треугольнике. Ответ: Треугольник равносторонний. Задача 3: В равнобедренном треугольнике один из углов равен 500. Найдите остальные  углы. Сколько решений имеет задача? Решение: Дано: АВС ­ равноб. 1) Р А = 500 (угол при основании) 2) Р В = 500 (угол при вершине) Найти: 1) Р В, Р С. 2) Р А и Р С. Решение: 1) Если Р А = 500, то и Р С = 500 (углы при основании), тогда Р В = 1800 ­ (Р А + Р С) Р В = 1800 ­ 1000 = 800. Ответ: Р С = 500, Р В = 800. 2) Если < В = 500 (угол при вершине), то т.к. Р А = Р С (углы при основании) Р А = 1/2 (1800 ­ 500) = 1/2 . 1300 = 650. Ответ: Р А = Р С = 650. Задача имеет два решения.. Задача 4: Периметр треугольника равен 30 см. Определить стороны этого треугольника,  если известно, что стороны пропорциональны числам 2; 3 и 5. Решение: Дано: АВС. РАВС = 30 см. АВ = 2k, ВС = 3k, АС = 5k. Найти: АВ, ВС, АС. Решение:  Р = АВ + ВС + АС, Р = 2k + 3k + 5k = 30, 10k = 30, k = 3. АВ = 2 . 3 = 6(см), ВС = 3k = 3 . 3 = 9(см), АС = 5k = 5 . 3 = 15(см). Ответ: АВ = 6 см, ВС = 9 см, АС = 15 см, но АВС не существует, т.к. АВ + ВС = АС.