Векторы. Геометрия 8 класс.

Векторы 8 класс Живенко Жанна  Анатольевна МБОУ Авангардовская оош

Историческая справка  Термин вектор (от лат.  Vector – “ несущий “)  впервые появился в 1845 г.  у ирландского математика  Уильяма Гамильтона (1805 –  1865) в работах по  построению числовых  систем.

Что такое вектор?           Понятие вектора возникает там, где  приходится иметь дело с объектами,  которые характеризуются величиной и  направлением: например, скорость, сила,  давление. Такие величины называются  векторными величинами или  векторами.

Геометрическое понятие  вектора  Наиболее наглядно величину и направление одновременно  можно задать с помощью направленного отрезка – вектора.  Направление вектора указывается стрелкой. Точка A  называется началом вектора, а точка B – концом.  Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также  AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора). В Конец вектора C D А Начало  вектора a b c

Нулевой вектор  Любую точку плоскости  можно считать вектором.  Такой вектор называется  нулевым.  Начало нулевого вектора  совпадает с его концом.  Нулевой вектор  обозначается 0 или СС. М MM ­ нулевой вектор С CC ­ нулевой вектор

Длина вектора  Расстояние между началом и концом вектора  называется длиной или модулем вектора. Длина  вектора обозначается |а| или |АВ|.  Длина нулевого вектора считается равной нулю. A B C D |AB| = 6           |CD| = 5 |a| = 5              |NN| = 0 (каждая клетка на рисунке  имеет сторону, равную  единице измерения отрезков) a N

Коллинеарные векторы  Ненулевые векторы называются коллинеарными,  если они лежат либо на одной прямой, либо на  параллельных прямых.  Нулевой вектор считается коллинеарным любому  вектору. N P m b K a D C F O CD, KF, O,  a,  b –  коллинеарные O, a – коллинеарные O, NP – коллинеарные NP, m – не коллинеарные

Направление векторов  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  одинаково, то эти векторы  называются  сонаправленными. C a F D  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  противоположно, то эти  векторы называются  противоположно  направленными.  Нулевой вектор  сонаправлен с любым  вектором. ↑↑ a  CD   b  ↑↑ KF b K

Направление векторов  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  одинаково, то эти векторы  называются  сонаправленными. C a F D  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  противоположно, то эти  векторы называются  противоположно  направленными.  Нулевой вектор  сонаправлен с любым  вектором. ↑↑ a  ↑↓ a  CD   b  b       a  ↑↑ ↑↓ KF  KF   b K

Направление векторов  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  одинаково, то эти векторы  называются  сонаправленными. C a F D  Если два ненулевых вектора  коллинеарны и направлены  противоположно, то эти  векторы называются  противоположно  направленными.  Нулевой вектор  сонаправлен с любым  вектором. M ↑↑ a  ↑↓ a  CD   b  b       a  ↑↑ ↑↓ KF  KF   MM  ↑↑ a       MM  ↑↑ b b K

Равенство векторов  Векторы называются равными, если они сонаправлены и их  длины равны.  Равенство векторов обозначается: a = b  Все нулевые векторы равны друг другу. C a b a   b │a  = b  │ │ │  a = b M CC = MM

Откладывание вектора от  данной точки  От любой точки можно отложить вектор, равный  данному вектору, и притом только один. а А В p М N' N M  p p II AB MN = AB MN' = AB MN = a

Задача   Какие из векторов,  изображенных на  рисунке: коллинеарны; 1) 2) сонаправлены; 3) противоположно  направлены; 4) имеют равные  длины?   Отложите эти векторы от  одной точки. c d a b

Задача   На рисунке изображена равнобедренная  трапеция  KLMN. а) Укажите сонаправленные, противоположно  направленные, равные вектора. б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли  при этом сами векторы?  L M K N

Задачи  Даны вектор BC и точка D(1;­2). Отложите от точки D  вектор, равный вектору BC.  Как должен быть расположен ненулевой вектор a  относительно прямой k, чтобы нашлись лежащие на  этой прямой векторы, равные a? Сколько таких  векторов найдется? Отметьте на чертеже три из них.  Векторы AB и DC равны. Докажите, что если точки A,  B, C и D не лежат на одной прямой, то  четырехугольник ABCD   ― параллелограмм.

Задачи  На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите  векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами  векторы?  B C A D  В ромбе ABCD lACl = 12см, lBDl = 16см. От вершины A  отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину  вектора EC.  Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X, что: а)  AX = XB; б) AX = BX; в) XA = XB.