Видеолекция по теме Построение графиков элементарных функций в Excel

Текст озвучки. Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено   от   голода,   чем   дольше   горит   костёр,   тем   теплее   будет   в   пещере.   С развитием   скотоводства   и   ремесла   увеличилось   количество   известных   людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Высокого   уровня   достигла   математика   в   Древнем   Вавилоне.   Чтобы   облегчить вычисления,   вавилоняне   составили   таблицы   обратных   значений   чисел,   таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. В   Древней   Греции   наука   приняла   иной   характер,   чем   в   Вавилоне.   Появились профессиональные учёные, которые изучали саму математическую науку. Многое из того,   что   делали   древнегреческие   математики,   тоже   могло   привести   к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсы и др. линиях. (14)   веке   стал   изображать Французский   учёный   Николай   Оресм   в  XIV  интенсивности   длинами   отрезков.   Когда   он   располагал   эти   отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края». Современный человек сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости.  В конце XVII (17) века Лейбниц (1646­1716) и его ученики стали применять термин «функция».  Речь   шла   об   отрезках   касательных   к   кривым,  их   проекциях   на   оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию». Понятие функции ещё не было освобождено от геометрической формы. Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией   переменной   величины   называется   количество,   образованное   каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». В школьном курсе математики вы уже знакомы с графиками многих элементарных функций: это постоянная функция, прямая пропорциональность, линейная функция (график   –   прямая),   обратная   пропорциональность   (график   –   гипербола), квадратичная   функция   (график   –   парабола),   корень  n­ой   степени,   степенная функция, в частности кубическая парабола и др. Вспомним эти функции, повторим их графики и научимся их строить в программе электронных таблиц Excel (2010). Начнем с линейной функции. Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – заданные числа. Графиком линейной функции является прямая (в связи с чем и   связано   ее   название).   Для   построения   графика   достаточно   двух   точек.   В зависимости от значений коэффициентов  k  и  b  график функции может выглядеть различным образом (возрастать при  k>0, убывать при  k<0, быть постоянным при k=0,   коэффициент  b  отвечает   за   точку   пересечения   с   осью   ординат   и   т.д.). Всевозможные   варианты   видов   графика   линейной   функции   в   зависимости   от   ее коэффициентов представлены в Таблице 1 на экране. Построим, например, график функции  y  =  – 3x  – 5. Для этого построим таблицу значений x и y: заполним первую строку (ячейки A1 и B1) произвольными числами (например, ­5 и 5)  – это значения независимой переменной х, а во второй строке внесем соответствующую формулу (в ячейке A2 запишем = – 3*A1– 5) и скопируем (с помощью маркера автозаполнения, наводя курсор на правый нижний угол нужной ячейки и при появлении тоненького черного крестика и нажатой левой клавиши мыши перетащить маркер в новую ячейку) – в ячейку  B2. Таблица значений для построения графика готова. Приступим к построению.  Выделим всю таблицу значений x и y (диапазон ячеек c A1 по B2), выбрать в опции ВСТАВКА   –  ДИАГРАММЫ   –   ТОЧЕЧНАЯ   (2   рисунок,   с   гладкими   кривыми   и маркерами) – и нажимаем ОК. Добавим наглядности в чертеж, зафиксируем оси координат. Для этого выделим горизонтальную ось абсцисс – ось х, вызовем правой клавишей мыши контекстное меню, выберем последнюю строку ФОРМАТ ОСИ – изменим   параметры   оси   (цена   основных   делений   фиксированная   1),   тип   линии (увеличить ширину до 3 пт., изменить тип окончания в виде стрелки), цвет линии (изменить на черный), закрыть. То же самое проделать с вертикальной осью ординат –   осью  y  (цена   основных   делений=4).   Подпишем   график,   нажав   в   области диаграммы правой клавишей мыши – ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ – РЯД 1 ИЗМЕНИТЬ – вносим ИМЯ y=­3x­5 – и подтверждаем 2 раза клавишей ОК. Заголовок изменим на Линейная функция. Кстати можно изменить значения x на другие числа (например ­6 и 2), значения  y  и график поменяются автоматически (график фактически не изменился,   просто   будет   нарисована   иная   часть   всей   прямой).   Поздравляем   – график готов. При необходимости можно сохранить график (Файл – Сохранить как – и выбрать имя и место сохранения). Выполните следующие 5 заданий самостоятельно (удобно их выполнить в том же файле­книге на разных листах, переход по ярлыкам осуществляется внизу рабочей области)   и   убедитесь,   что   вид   каждого   графика   совпадает   с   ее   схематичным изображением из Таблицы 1: б) y = 2x + 7; в) y = 5х; г) y = 6x – 10; д) y = – 3x + 6; е) y = – 4x Перейдем   к   повторению   квадратичной   функции   и   ее   графика.   Квадратичной функцией называется функция вида y = ax2+bx+c, где a, b, c – заданные числа и a≠0 (иначе она вырождается в линейную). Графиком квадратичной функции является, общеизвестно, парабола. Для построения параболы в алгебре необходим выбор, как минимум, трех точек (это, как правило, вершина параболы и точки пересечения с осью  абсцисс), а  также  полезно  использовать   свойство   симметричности   графика относительно   оси   симметрии,   проходящей   через   ее   вершину.   Кроме   того целесообразно помнить общий схематичный вид параболы в зависимости от знака коэффициента числа a (при a>0 ветви направлены вверх, при a<0 ветви направлены вниз) и знака дискриминанта  (при  D=b2­4ac>0 парабола  два  раза пересекает ось абсцисс, при  D=0 касается оси абсцисс и при  D<0 не имеет общих точек о осью абсцисс).  Всевозможные   варианты   видов   графика   квадратичной   функции   в зависимости от ее коэффициентов представлены в Таблице 2 на экране.  Для   более   точного   построения   графика   в  Excel  и   получения   плавной   кривой параболы,   будем   использовать   множество   точек.  Построим,   например,   график функции  y  =  х2  – х – 12 (a=1, ветви вверх,  D=49>0, 2 точки пересечения с обсью абсцисс). Для этого построим таблицу значений  x  и  y: заполним первую строку (строка  ячеек  от  A1 до  N1)  произвольными  числами,  желательно с  одинаковым шагом (например, от ­6 до 7 с шагом 1, причем для автоматического заполнения также можно использовать маркер автозаполнения: внести только два числа ­6 и ­5, выделить   их   и   с   помощью   маркера   перетащить   до  N1,   нужные   числа   появятся автоматически)    –  это   значения   независимой   переменной   х,  а  во   второй   строке внесем соответствующую формулу (в ячейке A2 запишем = =A1^2­A1­12, помним, что квадрат в Excel записывается через знак домик или крышечка или, по научному, циркумфл кс)   и   скопируем   с   помощью   маркера   автозаполнения   во   все   ячейки второй строки вплоть до  N2. Таблица значений для построения графика готова. Приступим   к   построению,   процесс   аналогичен   построению   графика   линейной функции.   Выделяем   диапазон  A1:N2,   переходим   на   вкладку   ВСТАВКА   – ДИАГРАММЫ – ТОЧЕЧНАЯ – 2 РИСУНОК – ОК. Оформляем более наглядно оси координат и заголовок графика. ее Выполните   следующие   5   заданий   самостоятельно   и   убедитесь,   что   вид   каждого графика совпадает с ее схематичным изображением из Таблицы 2: б) х2+4х+4     в) х2–3х+16     г) –х2–3х+10    д) –х2+8х–16    е) –х2+5х–29 Попробуем   теперь   построить   иные   произвольные   известные   графики   функций. Рассмотрим графики функций: а) х4–х2+400     б) х3 (кубическая парабола)     в) х5–3х+6      х   (гипербола)                е)  y=−2 г) √3x−9           д)  y=4 х  (гипербола) Первые   три   графика   строятся   аналогично,   самое   главное   удачно   выбрать произвольные значения независимой переменной х (при необходимости их можно корректировать уже в процессе построения графика). Постройте их самостоятельно и проверьте свой результат с приведенным на экране. Сложность   в   построении   представят   графики   корня   и   обратной пропорциональности. При построении степенной функции корня следует учесть область ее определения (арифметический   квадратный   корень   определен   для   неотрицательных   чисел, поэтому 3x­9 ≥ 0, откуда х ≥ 3, и поэтому в качестве произвольных значений аргумента   х   необходимо   брать   числа,   большие   или   равные   3).   Формула   для  y запишется как =КОРЕНЬ(3*A1­9). Ну и понятно, что график будет расположен в верхней   полуплоскости,   т.к.   значения   арифметического   квадратного   корня √3x−9     будут   неотрицательны   (иначе   говоря,   график   разместится   в  I координатной четверти). Определенные   сложности   возникают   и   при   построении   графика   обратной пропорциональности,  т.к.  до   сих  пор   мы  строили  непрерывные   линии,  а  график х , где k≠0­заданное обратной пропорциональности представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Но оказывается и такой график можно построить в  Excel. Напомним, что обратной пропорциональностью называется функция вида  y=k число   (от   него   зависит   место   расположения   графика   –   при  k>0   в  I  и  III координатных четвертях, а при  k<0 – во  II  и  IV). Область определения функции х≠0, т.е. гипербола не пересекает ни одну из координатных осей: ни ось х, ни ось y. Теперь разберемся, как же построить отдельно две непрерывные ветви гиперболы на одном графике. Выберем следующие значения независимой переменной х:           ­5; ­4; ­3; ­2; ­1; ­0,5; ­0, 25; ­0, 125 пропуск 0,125; 0, 25; 0, 5; 1, 2, 3, 4, 5 (здесь слово пропуск означает, что в данной ячейке мы никакое число не записываем, благодаря этой маленькой хитрости и получатся две красивые ветки гиперболы, пропуск не даст соединить точки ­0,125 и 0,125). Формула для y запишется как =4/A1, помним, что деление в  Excel  пишется значком слэш). Все остальное проделывается также, как для линейной и квадратичной функции. Убеждаемся, что графики правильно располагаются в нужных координатных четвертях. Итак, мы заканчиваем данную видеолекцию. Надеемся, что вам было все понятно, вы   успешно   справились   с   выполнением   всех   практических   работ   на   построение графиков   элементарных   функций   в  Excel,   а   также   ваши   знания   и   умения значительно   пополнились   полезной   для   вас   информацией.   Удачи   и   творческих достижений!