ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРИКУ И ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?

1

3

5

7

3

3

3

5

5

5

7

7

7

1

1

1

5

5

5

5

5

5

7

7

7

7

7

7

3

3

3

3

1

1

1

1

1

1

3

3

дерево вариантов

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Pn = n!

Пример 1.
Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P8 = 8! = 40 320

Пример 2.
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3.
Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?

Решение:

Определение. Размещением

из n элементов

, называют

конечного множества по k, где

упорядоченное множество, состоящее из k

элементов.

Пример 1.
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Пример 2.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

Пример 3.
Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Решение:

Определение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…

…

…

Пример 1.
Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек?

Решение:

Пример 2.
Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Решение:

Пример 3.
Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний,
в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний.

, где m – число испытаний с
благоприятным исходом,
n – число всех испытаний.

Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.

.

Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым?

Решение:

а)

б)

в)

Пример 2.
Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

Решение:

Пример 3.
Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

Решение:

D и E называются несовместными событиями.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Пример 1.
В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Решение:

Пример 2.
В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной.

Решение:

- всего событий

Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные,

событие В – среди 6 отобранных деталей одна
нестандартная.

- благоприятные события для А

- благоприятные
события для В

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1.
Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Решение:

Пример 2.
Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7.
Найдите вероятность
хотя бы одного попадания в цель, если каждое
орудие сделало по одному выстрелу.

Решение:

событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

событие

- промах 1-го орудия

событие

- промах 2-го орудия

события

и

независимые

события А и

противоположные