Зачет по геометрии №3 10 кл. по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол»

Зачет по геометрии №3                             10 кл. по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол» ОРО Знать: ­ понятие перпендикуляра и наклонной к плоскости ­ определение расстояния от точки до плоскости ­ определение расстояния между параллельными плоскостями ­ определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью ­  определение расстояния между скрещивающимися прямыми ­ теорема о трех перпендикулярах ­ теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах ­ определение угла между прямой и плоскостью  ­ определение двугранного угла ­ понятие линейного угла двугранного угла ­ определение перпендикулярных плоскостей ­ признак перпендикулярности двух плоскостей ­ определение прямоугольного параллелепипеда ­  свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда Уметь решать задачи типа: 1) Найдите, чему равно х в следующих задачах, если АН – перпендикуляр к плоскости , АВ и АС –  наклонные. 2) Перпендикулярны ли прямые а и b  если:  а) ABCD – прямоугольник,  ABCD –  параллелограмм,  FB  FB  ( ABC ) ( ABC ) ;                                  б)   3) ABCD – ромб, диагонали которого пересекаются в точке О.Прямая а перпендикулярна плоскости  АВС,  аМт . . Докажите, что МО  BD. 4) Прямая а перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD,  аМт . , MA  AD. Докажите, что  ABCD – прямоугольник. 5) ABCDA1B1C1D1 – куб. Докажите, что DC1  B1C1. 6) Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. 7) Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; Диагональ параллелепипеда равна см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:  62 а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 1) 2) 3) 4) 8) 9) 5) 6) 7) 8) Построить линейные угла в задачах:  , а) Дано:  АВ угла CABD. Ответ обосновать.  АВС ВС АС    , , CD    C ,  (рис.1). Построить линейный угол двугранного   ,90 С , АВС б) Дано: линейный угол двугранного угла АВСО. Ответ обосновать.                                      в)Дано:  (рис.2) Построить   ,90  . АВС CD АО ВС  ,  ,  ,  .       С  А , , СD  (рис.3) Построить  АВ линейный угол двугранного угла DABC. Ответ  обосновать. Дополнительные задания. а 2  от точки D. Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов равен 60˚. Через сторону АВ проведена плоскость  на расстоянии  а) Найдите расстояние то точки С до плоскости  . б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, М  . в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью  . Точка М находится на расстоянии h от плоскости . Проведены две наклонные MP и MQ (где P и  Q – основания наклонных), соответственно под углами 45˚ и 60˚. Найдите PQ, если  Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость,  проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол, величина которого равна  30˚.Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость .   Найдите расстояние от точки М до прямых АС и ВС на рис.1.       , где О – основание перпендикуляра МО, МО  .  150 POQ АВСD – параллелограмм. Найти расстояние от точки М до прямых AD и DC на рис2.. ABCDA1B1C1D1 – куб. Перпендикулярны ли прямые B1D и АС? Ответ  обоснуйте. Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с его  диагональю угол в 60˚. Найдите расстояние о другой стороны до плоскости, если площадь квадрата равна 4 см2. Через большее основание равнобедренной трапеции проведена плоскость , составляющая с  боковой стороной угол в 30˚. Меньшее основание отстоит от плоскости на расстояние, равное 2см.  Найдите  периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность. DABC – пирамида.  между прямой CD и плоскостью (ADB). Найти угол    ,90 BAD ACB ABC ,45 DB СВ АС .20 ,15    ),  ( 10) Через сторону прямоугольника, равную 8 см, проведена плоскость, составляющая с плоскостью  прямоугольника угол в 30˚ и отстоящую от параллельной стороны на расстоянии 20 см. Найдите  площадь прямоугольника. треугольника ВСМ с В=120˚. Найдите  11) Плоскость квадрата ABCD со стороной а перпендикулярна плоскости равнобедренного  S  . ADM 12)  Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 8 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите  линейные размеры этого параллелепипеда. 1. Как найти расстояние от точки до плоскости? 2. Докажите, что, если наклонные равны, то  равны и их проекции. 3.  АН . Найдите наклонную АВ, если  известно, что АН=5 см, ВН=12 см. 4. Из вершины А квадрата ABCD  перпендикулярно к его плоскости проведен  отрезок АК, равный 3 см. Из точки К опущены  перпендикуляры на стороны ВС и CD.  Перпендикуляр из точки К к стороне ВС равен 6  см. Найдите углы, которые образуют эти  перпендикуляры с плоскостью квадрата. 5. Найдите, чему равно х на рис.1, если АН – перпендикуляр к плоскости , АВ и АС – наклонные.  6. Доказать, что  а  , если АВСD – ромб, b АЕ  на рис.2.  ( ABC ) 1.Как определить угол между прямой и  плоскостью, пересекающей эту прямую и не  перпендикулярную к ней? равны, то равны и сами наклонные. 2.Докажите, что, если проекции наклонных  3. Из точки М, не принадлежащей плоскости  , проведены к этой плоскости перпендикуляр и  наклонная. Как в плоскости провести прямую,  перпендикулярную наклонной? 4. Расстояние от точки М до плоскости  равно 6 см. Найдите длину наклонной АМ,  проведенную к плоскости  и ее проекцию на  плоскость, если угол между наклонной и  плоскостью  равен 45˚. 5. Найдите, чему равно х на рис.1, если АН – перпендикуляр к плоскости , АВ и АС – наклонные.  1. Как найти расстояние между прямой а и плоскостью , если  ||а ? 2. Даны две параллельные прямые, проведенные  к одной и той же плоскости. Что можно сказать о  величине углов, которые они образуют с  плоскостью? на плоскость  и расстояние от точки А до  плоскости , если известно, что  ,АВ=8 см. . Найдите проекцию наклонной АВ  АН 3.  АВН   30 4. Сторона AD прямоугольника ABCD перпендикулярна плоскости квадрата ABEF (рис.1), AD =  а. Найдите расстояние и угол между прямыми CD и  FB.  5. Найдите, чему равно х на рис.2, если АН – перпендикуляр к плоскости , АВ и АС – наклонные.  6. Докажите, что  если CB  BD ,   ABC ,40 )  BAC  AD (  на рис.3.  ACB  ,50 1. Как найти расстояние между двумя  параллельными плоскостями? 2. Докажите, что равные наклонные,  проведенные к плоскости из точки, не  принадлежащей плоскости, образуют с ней равные  углы. 3. Дан квадрат ABCD. АК – отрезок,  перпендикулярный к плоскости квадрата; конец  его к соединен с вершинами В и С. Докажите, что  треугольник КВС – прямоугольный. 4. Найдите угол между диагональю куба и  5. Найдите, чему равно х на рис.1, если АН –  плоскостью одной из его граней. перпендикуляр к плоскости , АВ и АС –  наклонные. 6. Докажите, что  а  , b если известно, что ABCD – прямоугольник,  FB  ( ABC )  6.Докажите, что  AC , если KD  АВ=ВС, BD – медиана, ВК   на рис.2. ( АВС ) 7. На рис.3 AE и СF – BK  высоты,  Докажите, что  ( ABC KD  ) . AC . 7. ABCD – параллелограмм.  BM  ( ABC ) , MA  AD . Доказать, что ABCD – прямоугольник. 8. Найдите расстояние от точки М до  8. ABCD – квадрат, . Найдите ) ( ABC BM  отрезок DM, если  см, а BM =5 см. 12AB Дополнительные задания. 1. КО – перпендикуляр к плоскости , КМ и  КР – наклонные к плоскости , ОМ и ОР –  проекции наклонных, причем сумма их длин равна  15 см. Найдите расстояние от  точки К до  плоскости , если КМ=15 см и КР=  см. 10 3 2. Треугольник АВС – прямоугольный, С  90 , АС=8 см, ВС=6 см. Отрезок СD –  перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите CD,  если расстояние от точки D до стороны АВ равно 5 см. 3. Через сторону прямоугольника равную 4 см,  проведена плоскость, составляющая со смежной  стороной угол в 30˚. Расстояние от параллельной  стороны до плоскости равно 1, 5 см. Найдите  радиус описанной около прямоугольника  окружности.  плоскости квадрата со стороной  2 см, если  известно, что точка М равноудалена от всех  вершин квадрата на расстояние равное 5 см. Дополнительные задания. 1. Треугольник ACD – равносторонний. Точка  S удалена от вершин треугольника ACD на 6 см, а  от плоскости ACD на 3 см. Найдите сторону  треугольника ACD. 2.  Через большее основание прямоугольной  трапеции с острым углом 60˚ проведена плоскость , составляющая с большей боковой стороной  угол в 30 ˚. Меньшее основание отстоит от  плоскости на расстояние, равное 2 см. Найдите  периметр трапеции, если известно, что в нее можно  вписать окружность. 3. Длины сторон треугольника АВС  соответственно равны: ВС = 15 см, АВ = 13 см,  АС = 4 см. Через сторону АС проведена плоскость  , составляющая с плоскостью данного  треугольника угол 30˚. Найдите расстояние от  вершины В до плоскости . 7. АВCD – квадрат, диагонали которого  7. АВCD – ромб, диагонали которого  пересекаются в точке О. Прямая  Докажите, что FO  BD . AF  (ABC ) .  8. Найдите расстояние от точки N до плоскости равностороннего треугольника со стороной 4 см,  если известно, что она равноудалена от его вершин  на 5 см. Дополнительные задания. 3 1. ABCD ­ квадрат с периметром, равным   см. Точка  Е удалена от всех сторон  16 квадрата на 4 см. Найдите расстояние от точки е  до плоскости АВС. 2. В прямоугольном треугольнике катет равен  а, противолежащий угол равен 60˚. Через  пересекаются в точке О. Прямая  Докажите, что FO  BD . AF  (ABC ) .   8.  CDEK – квадрат со стороной, равной 2 см.  . Найдите расстояние то точки В до  BD  плоскости CDE, если ВК= 72 см. (CDE ) Дополнительные задания. С 1.Треугольник ABC – прямоугольный,  90 , АС=8 см, ВС=6 см. Отрезок CD –  перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите CD,  если расстояние от точки D до стороны АВ равно   5 см. 2. ABCD – квадрат. Точка М удалена от  сторон квадрата на  квадрата, если точка М удалена от плоскости АВС  см. Найдите периметр  23 гипотенузу проведена плоскость, составляющая с  плоскостью треугольника угол в 45˚. Найдите  расстояние от вершины прямого угла до плоскости. 3. Треугольник MKN равносторонний со  стороной, равной 18 см. точка С удалена от вершин треугольника MKN на 12 см. Найдите расстояние  от точки С до плоскости MKN. на  2 см. 3. Меньший катет прямоугольного  треугольника принадлежит плоскости,  составляющей с плоскостью треугольника угол в  30˚. Гипотенуза равна с, один острый угол ­ 60˚.  Найдите расстояние от вершины меньшего острого  угла до плоскости. ­ понятие перпендикуляра и наклонной к  плоскости ­  определение расстояния между  скрещивающимися прямыми ­ теорема, обратная теореме о трех  перпендикулярах ­ определение угла между прямой и  плоскостью ­ понятие перпендикуляра и наклонной к  плоскости ­ определение расстояния от точки до  плоскости ­ теорема о трех перпендикулярах ­ определение угла между прямой и  плоскостью ­ понятие перпендикуляра и наклонной к  плоскости ­ определение расстояния между  параллельными плоскостями ­ теорема о трех перпендикулярах ­ определение угла между прямой и  плоскостью ­ понятие перпендикуляра и наклонной к  плоскости ­ определение расстояния между прямой  и параллельной ей плоскостью ­ теорема о трех перпендикулярах ­ определение угла между прямой и  плоскостью