Зачет по геометрии по теме «Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве»

Готовимся зачету по геометрии  по теме «Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве» ОРО: Знать: ­определение стереометрии; ­ аксиомы стереометрии; ­ следствия из аксиом; ­ определение параллельных прямых; ­ теорему о параллельных прямых; ­ лемму о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми; ­ теорему о трех параллельных прямых; ­ взаимное расположения прямой и плоскости в пространстве; ­ определение параллельности прямой и плоскости; ­ признак параллельности прямой и плоскости; ­ теорему о двух пересекающихся плоскостях, одна из которых проходит через прямую,  параллельную другой плоскости; ­ определение скрещивающихся прямых;  ­ признак скрещивающихся прямых; ­ взаимное расположение прямых в пространстве; ­ определение сонаправленных лучей; ­ теорему об углах с сонаправленными сторонами; ­ определение угла между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. Уметь  применять теоретические знания при решении задач типа: 1) В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей  через эти точки? 2) Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? 3) Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает  прямые a и b. Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости? а? 4) Каково взаимное расположение прямых: 1) А1В и MN; 2) A1В и B1C; 3) MN и A1B1 на рис.1 5) Прямые a и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые a и b быть параллельными? 6) Прямая а параллельна плоскости . Существуют ли на плоскости  прямые, не параллельные 7) На рис. 2 прямые m и n пересекаются в точке M, Am, Bn, b лежит в плоскости , а || b.  8) Даны четырехугольник ABCD и плоскость . Его диагонали AC и BD параллельны плоскости Каково взаимное положение прямых b и с? . Какого взаимное расположение АВ и плоскости ? 9) По рис. 1 ответьте на следующие вопросы: а) в какой плоскости лежит прямая MN? б) какие плоскости эта прямая пересекает? в) каким плоскостям принадлежит прямая ВВ1? 10)   Плоскость  проходит через диагональ основания параллелепипеда и середину одной из  сторон верхнего основания. Определите вид сечения. Дополнительные задания: 1) На рис.3 плоскости и  параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают  плоскостьсоответственно в точках В и А, а плоскость   ­ в точках Е и F.  EM MF 2 5 . Найдите  отношение  MB MA . 2) Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости . Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках Е и F соответственно. а) Каково взаимное расположение прямых EF и AB? б) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC=150˚? Поясните.   , CD   , AB  3)   Дан пространственный четырехугольник АВСD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины  сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.     а) выполните рисунок к задаче;     б) докажите, что полученный четырехугольник есть ромб. 4)   Точка С принадлежит отрезку АВ, не пересекающего плоскость . АС:СВ=3:2. Через А, С и В  проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках А1, С1 и В1.  Докажите, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Найдите СС1, если АА1=7см, ВВ1=2см. 5)   Точка С – середина отрезка АВ, пересекающего плоскость  в точке М (рис.4). Через точки А, С и В проведены прямые, пересекающие плоскость  соответственно в точках А1, С1 и В1. Докажите,  что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Найдите СС1, если АА1=5см, ВВ1=7см. 6)   На рис.5 АВ CD DD1, если АА1=7см, ВВ1=2см, СС1=3см. 7)   Плоскость  пересекает стороны АВ и CD трапеции ABCD в точках M и N cответственно.  Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости , если M и N середины боковых сторон  трапеции. 8)   ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. AB=8см, АА1=3см. Е – середина A1B1. Постройте  сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через АС и Е. Найдите периметр сечения. 9)   FABCD – пирамида. ABCD – квадрат. М – середина AF. Постройте сечение пирамиды плоскостью (DMC). Найдите периметр основания, если сечение пересекает плоскость (AFB) по отрезку длиной 4  см. 10)   Дан  ABC  прямыми: а) АВ и В1С1  б) А1С1 и ВС.   11) Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра,  пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. . Точки А1, В1 и С1 не принадлежат плоскости треугольника (рис.6) АА1 Причем АО:ОВ=3:2, а O – середина отрезка СD. Найдите  =F. A1B1||AB, A1C1||AC, B1C1||BC.  . Найдите угол между  ВВ  1 СС 1  ,30  80 ABC BAC  . O  1. Верно ли утверждение: если две прямые не  имеют общих точек, то они параллельны? 2. Прямые а и с параллельны, а прямые а и b  пересекаются. Могут ли прямые b и с быть  параллельными? 3. По рис. 1 назовите: а) плоскость, которой принадлежит прямая KN б) плоскости, в  которых лежит  прямая KN в) плоскости,  которые прямая KN  пересекает 4. По рис .1  определите взаимное расположение прямых: а) AB и BD    б) AD и BC    в) KN и AC 5. Верно ли, что любые три точки лежат в одной  плоскости? 6. Точки A,B,C и D не лежат в одной плоскости.  Могут ли какие­то три из них лежать на одной  прямой? 7. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? 8. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая  прямые а и b, также лежит в плоскости ? 1.Прямые а и b пересекаются. Прямая с является  скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и  с быть параллельными? 2. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с,  не проходящая через точку, пересекает прямые а и  b. Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости? 3. Одна из двух параллельных прямых параллельна  некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и  вторая прямая параллельна этой плоскости? 4. Точка М не принадлежит плоскости  параллелограмма ABCD. Доказать, что прямая DC  параллельна плоскости (ABM). 5. По рис.1 ответьте на вопросы: а) Какой плоскости  принадлежит прямая RF? б) Какие прямые пересекает прямая RF? в) В каких плоскостях  лежит прямая AD? 6. По рис.1 определите  1. В каком случае три точки в пространстве не  определяют положение плоскости, проходящей  через эти точки? 2. В треугольник вписана окружность. Лежит ли  центр этой окружности в плоскости треугольника?  3. Прямые а и с параллельны, а прямые a и b  пересекаются. Могут ли прямые b и с быть  параллельными? 4. Прямая а пересекает плоскость . Лежит ли в  плоскости  хоть одна прямая, параллельная а? 5. Стороны ВС и СD параллелограмма ABCD  пересекают плоскость . Докажите, что прямые  АВ и AD также пересекают плоскость . 6. По рис.1 ответьте на вопросы: а) Какой плоскости  принадлежит прямая EF? б) Какие плоскости она  пересекает? в) В каких плоскостях лежит  прямая АА1? 7. По рис.1 определите  взаимное расположение   АВС ?  150 прямых:   а) DD1 и ВВ1;  б) EF и ВС;  в) EF и AD 8. Основание AD трапеции ABCD лежит в  плоскости . Через точки B и C проведены  параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках E и F соответственно.    а) Какого взаимное положение прямых EF и AB?    б) Чему равен угол между прямыми EF и AB,  если  1. Даны четырехугольник ABCD и плоскость .  Его диагонали AC и BD параллельны плоскости . Какого взаимное расположение АВ и плоскости  ? 2. Хорда окружности принадлежит плоскости.  верно ли утверждение, что и вся окружность лежит  в этой плоскости? 3. Прямая пересекает две стороны треугольника.  Лежит ли она в плоскости треугольника? 4. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку  М? Сколько из этих прямых параллельны прямой  а? 5. По рис.1 ответьте на вопросы: а) Какие плоскости пересекает  прямая КN? б) Какой плоскости принадлежит  прямая KN? в) Назовите линию пересечения  плоскостей (АВС) и (СFD) взаимное расположение прямых: а) АВ и DC;   б) RF и АС;   в) АВ и АС 7. Прямая а лежит в плоскости  и пересекает  плоскость  . Какого взаимное расположение  плоскостей и ? 8. Средняя линия трапеции лежит в плоскости .  Пересекают ли прямые, содержащие основания  трапеции, плоскость ? 6. По рис.1 определите взаимное расположение  прямых: а) FD и АВ; б) KN и АВ 7. Сколько общих точек могут иметь две различные  плоскости? 8. Точки F,B,C,D не лежат в одной плоскости. Среди  прямых, проходящих через любые две из данных точек,  укажите прямую, которая является скрещивающейся: а) с прямой АВ;  б) с прямой ВС Дополнительные задания: Дополнительные задания: 1. (3 бал.) Через вершину A ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через  вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости  ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD                    пересекаются; б) а и b ­ скрещивающиеся прямые 2.(3 бал.)  Точка С лежит на отрезке АВ, причем  AB:BC=4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен  плоскости , проходящей через точку В.  Докажите, что прямая AD пересекает плоскость  в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ. 3.(3 бал.) Прямая СD проходит через вершину   ABC и не лежит в плоскости   ABC. Е и F –  середины отрезков АВ и BC.  а) Докажите, что CD и EF скрещивающиеся  прямые.  б)  Найдите угол между прямыми CD и EF, если  4.(5 бал.)  В трапеции АВСD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а  точка К – середина отрезка ВМ. Докажите, что  плоскость ADK пересекает отрезок MC в  некоторой точке Н, и найдите отрезок КН.  60 DCA 1. (3 бал.) Дан пространственный четырехугольник  ABCD, в котором диагонали AB и CD равны.  Середины сторон этого четырехугольника  соединены последовательно отрезками. а) Выполните чертеж к задаче б) Докажите, что полученный четырехугольник  есть ромб. 2. (3 бал.)  Плоскость , параллельная  основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны  AB и CD в точках M и N соответственно. BC=2 см,  AD=9 см. Найдите MN, если AM:AB=3:7. 3. (3 бал.)  Точка С – середина отрезка АВ, не  пересекающего плоскость . Через точки А, С и В проведены параллельные прямые, пересекающие  плоскость  соответственно в точках А1, С1 и В1.  Докажите, что точки А1, С1 и В1 лежат на одной  прямой. Найдите СС1, если АА1=5 см и ВВ1=7 см. 4. (5 бал.)  Докажите, что отрезки, соединяющий  середины противоположных ребер тетраэдра,  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам. Дополнительные задания: Дополнительные задания: 1. (3 бал.) Плоскость , параллельная стороне ВС  параллелограмма АВСD, пересекает стороны АВ и  СD в точках M и N соответственно. АМ:МВ=2:7.  АВ=18 см. Найдите CN и ND. 2. (3 бал.) Прямая m параллельна диагонали BD  ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба.  Докажите, что: а) m и АС – скрещивающиеся  прямые и найдите угол между ними; б) ) m и АD –  скрещивающиеся прямые и найдите угол между  ними, если угол АВС=128˚. 3. (3 бал.) Параллельные прямые АС и ВD  пересекают плоскость  в точках А и В. Точки С  и D лежат по одну сторону от плоскости ,  1. (3 бал.) Прямая а параллельна стороне ВС  параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости  параллелограмма. Докажите, что а и CD –  скрещивающиеся прямые и найдите угол между  ними, если один из углов параллелограмма равен  50˚. 2. (3 бал.) Дан  МКР прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК ­ в  точке К1. Найдите М1К1, если МР:М1Р=12:5,  МК=18 см. 3. (3 бал.) Докажите, что середины сторон  пространственного четырехугольника являются  вершинами параллелограмма. . Плоскость, параллельная   4. (5 бал.) Точки А,В,С и D не лежат в одной  плоскости. К и М – точки пересечения медиан  треугольников ADB и DBC соответственно. а) Докажите, что КМ||АС. б) Найдите АС, если КМ=6 см. Продолжите: 1. Через любые три точки… 2. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой… 3. Если прямая, не лежащая в данной плоскости  параллельна какой­нибудь прямой…(признак  параллельности прямой и плоскости) 4. Случаи взаимного расположения двух прямых в  пространстве. 5. Дайте понятие угла между двумя  срещивающимися прямыми Продолжите: 1.Если две плоскости имеют общую точку, то… 2. Если две прямые параллельны третьей… 3. Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая… 4. Лучи называются сонаправленные, если… 5. Как измерить угол между двумя  срещивающимися прямыми? АС=8см, BD=6 см, АВ=4 см. а) Докажите, что  прямая CD пересекает плоскость  в некоторой  точке Е. б) Найдите отрезок ВЕ. 4. (5 бал.) Точка М, лежащая вне плоскости АВК точки пересечения медиан треугольников МАВ и  МВК соответственно. а) Докажите, что АDEK – трапеция. б) Найдите DE, если АК=14 см.  , соединена с его вершинами. D и Е –  Продолжите: 1.Стереометрия – это… 2. Две прямые в пространстве называются  параллельными, если… 3. Если плоскость проходит через данную прямую,  параллельную другой плоскости и пересекает эту  плоскость… 4. Если одна из двух прямых лежит в некоторой  плоскости, а другая…(признак скрещивающихся  прямых) 5. Дайте понятие угла между двумя  пересекающимися прямыми Продолжите: 1. Если две точки прямой лежат … 2.Если одна из двух параллельных прямых  пересекает данную плоскость, … 3. Прямая и плоскость называются параллельными,  если… 4. Через каждую из двух скрещивающихся прямых  проходит плоскость… 5. Перечислите способы задания плоскости. Продолжите: 1.Через прямую и не лежащую на ней точку … 2. Случаи взаимного расположения прямой и  плоскости в пространстве:… 3. Две прямые называются скрещивающимися,  если… 4. Если стороны двух углов соответственно  сонаправлены, то… 5. Признак параллельности прямой и плоскости:…