11 класс Решение физических задач с помощью определенного интеграла

Решение физических задач с помощью определенного интеграла ФИО: Бузов Пётр Геннадиевич Место   работы:  Частное   учреждение   общеобразовательного   и   общего образования лицей­интернат "Подмосковный" Должность: учитель математики  Предмет: математика Класс: 11 Тема   и   номер   урока   в   теме:  «Решение   физических   задач   с   помощью определенного интеграла», 7 (из 8) урок в теме. Базовый  учебник:  Алгебра   и   начала   анализа.   10­11   классы.   В   2   ч.   Ч.   1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – 13­е изд., 2012. Цель урока: познакомить учащихся с применением производной и интеграла в физике. Формируемые   предметные   результаты:  умение   применять   интеграл   для решения физических задач. Формируемые метапредметные результаты: ­личностные универсальные учебные действия:  осознавать потребность и готовность к самообразованию  осознавать единство и целостность окружающего мира, возможности его познаваемости   и   объяснимости   на   основе   достижений   науки   (физики, математики) ­регулятивные универсальные учебные действия: умение   развивать   мотивы   и   интересы   своей   познавательной  деятельности;  достижения результата;  требований; умение   осуществлять   контроль   своей   деятельности   в   процессе умение определять способы действий в рамках предложенных условий и ­познавательные универсальные учебные действия умение выделять главное; умение   ориентироваться   в   своей   системе   знаний   и   осознавать   необходимость нового знания; умение   создавать,   применять   и   преобразовывать   знаки   и   символы,  модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. Тип урока: интегрированный урок математики и физики. Формы работы учащихся: парная, групповая, фронтальная Необходимое техническое оборудование: проектор. Структура и ход урока I. Оргмомент II. Постановка проблемы урока. Мотивация и целеполагание Сегодня   на   комплексном   уроке   математики   и   физики   мы   рассмотрим возможности   применение   математического   аппарата   для   решения   задач, описывающих различные физические процессы. Задача Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v1=(2t2+4t)м/с, второе – со скоростью v2=(3t+2) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с? Проанализируем условие задачи. Очевидно, перед нами задача на движение. В чем ее особенность? Скорости тел   не   являются   постоянными,   они   изменяются   с   течением   времени.   Как можно решить? {Предлагаются разные версии, например: найти скорости в каждую   секунду   времени   от   1   до   10   с   и   вычислить   путь,   пройденный телами.} III. Актуализация опорных знаний Вспомним основные понятия ранее изученной темы «Интеграл»:  Что такое определенный интеграл?  Как вычислить значение определенного интеграла?  Как называется полученная формула?  Перечислить свойства интеграла. IV. Работа по теме урока С помощью определенного интеграла можно решать различные задачи физики, механики и др., которые трудно или невозможно решить методами элементарной математики. Так,   понятие   определенного   интеграла   применяется   при   решении следующих физических задач: 1. Задача о вычислении пути 2. Задача о вычислении работы переменной силы. 3. Вычисление работы при растяжении или сжатии пружины. 4. Задача о силе давления жидкости на вертикальную поверхность и др. Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой   рассуждений   при   их   решении.   Искомая   величина   (путь,   работа, давление   и   т.   д.)   соответствует   некоторому   промежутку   изменения переменной   величины,   которая   является   переменной   интегрирования.   Эту переменную величину обозначают через Х, а промежуток ее изменения – через [а, b]. Отрезок   [a,   b]   разбивают   на   n   равных   частей,   в   каждой   из   которых можно пренебречь изменением переменной величины. Этого можно добиться при   увеличении   числа   разбиений   отрезка.   На   каждой   такой   части   задачу решают по формулам для постоянных величин. Далее   составляют   сумму   (интегральную   сумму),   выражающую приближенное значение искомой величины. Переходя к пределу при  n, находят искомую величину I в виде интеграла , где f(x) – данная по условиям задачи функция (сила, скорость и т. I =  д.). Рассмотрим общие схемы решения задач разных видов. {В   зависимости   от   уровня   подготовленности   учащихся,   можно предложить  эту работу по группам} Задача   1.   Нахождение   пути,   пройденного   телом   при   прямолинейном движении с переменным ускорением. Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt. Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от t1 до t2, разделим этот промежуток времени на n   равных   частей   Δt.   В   каждой   из   таких   частей   скорость   можно   считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме   , т.е.     Если функция v(t) непрерывна, то  Задача   2.   Вычисление   работы   переменной   силы,   произведенной   при прямолинейном движении тела Пусть тело под действием силы F движется по прямой s, а направление силы   совпадает   с   направлением   движения.   Необходимо   найти   работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b. Если сила F постоянна, то работа находится по формуле    (произведение силы на длину пути). Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в зависимости от пройденного пути, т. е. . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути о а до b, разделим этот отрезок на n равных частей Δx. Предположим, что на каждой части Δx  сила сохраняет постоянное значение  Составим интегральную сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы: т.е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно мала сумме:  Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле:  Задача 3. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия. Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда  F=kx, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины. Работа   на   участке Δx выразится   формулой ΔAFΔx  ,   а   вся   затраченная работа   или  .   Если   то   погрешность   величины работы стремится к нулю. Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу: Задача   4  Определение   силы   давления   жидкости   на   вертикально расположенную пластинку Из физики известно, что сила Р давления жидкости на горизонтально расположенную   площадку   S,   глубина   погружения   которой   равна   h, определяется по формуле:  , где   – плотность жидкости. Выведем   формулу   для   вычисления   силы   давления   жидкости   на вертикально расположенную пластинку произвольной формы, если ее верхний край погружен на глубину a, а нижний – на глубину b. Так как различные части вертикальной пластинки находятся на разной глубине,   то   сила   давления   жидкости   на   них   неодинаковa.   Для   вывода формулы нужно разделить пластинку на горизонтальных полос одинаковой высоты  . Каждую полосу приближенно можно считать прямоугольником. По закону Паскаля сила давления жидкости на такую полосу равна силе движения   жидкости   на   горизонтально   расположенную   пластинку   той   же площади, погруженной на ту же глубину. Тогда   сила   давления   на   полосу,   находящуюся   на   расстоянии   х   от поверхности, составит  Составим  интегральную сумму и  найдем  ее  предел,  равный  силе  давления  – площадь полосы. , где  жидкости на всю пластинку: т.е. Если верхний край пластинки совпадает с поверхностью жидкости, то а=0 и формула (5) примет вид Ширина каждой полосы зависит от формы пластинки и является функцией глубины х погружения данной полосы. Для   пластинки   постоянной   ширины   формула   (5)   упрощается,   т.к.   эту постоянную можно вынести за знак интеграла: Разбор задач по теме  V. {Одна задача решается у доски с комментированием или на отвернутой доске   для   дальнейшей   проверки.   Остальные   можно   использовать   для самостоятельной работы в группах} 1)   Скорость   движения   материальной   точки   задается   формулой    =   (4  м/с.   Найти   путь,   пройденный   точкой   за   первые   4   с   от   начала движения. Решение: 2) Скорость движения изменяется по закону   м/с . Найти длину пути, пройденного телом за 3­ю секунду его движения. Решение: 3) Скорость движения тела задана уравнением с  v=(12t­3t2) м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Решение: Скорость   движение   тела   равна   нулю   в   момент   начала   его   движения   и остановки.  Найдем  момент  остановки  тела, для  чего  приравняем  скорость нулю t; относительно уравнение решим       и     получим  Следовательно, 4)   Тело   брошено   вертикально   вверх   со   скоростью,  которая   изменяется   по закону  Решение:  м/с. Найти наибольшую высоту подъема. Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому 5) Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см? Решение: По   закону   Гука   сила   F,   растягивающая   пружину,   пропорциональна растяжению пружины , т.е. F = kx. Используя условие, находим  (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем   6) Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см? Решение: Имеем   (H/м) и, следовательно, F=3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0,06 (м), то 7) Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м, а высота 5 м (считая шлюз доверху заполненным водой). Здесь y = f(x) = 20, a = 0, b = 5 м,   кг/ . Находим 8) В воду опущена прямоугольная пластинка, расположенная вертикально. Ее горизонтальная   сторона   равна   1   м,   вертикальная   2   м.   Верхняя   сторона находится на глубине 0,5 м. Определить силу давления воды на пластинку. Решение: Здесь y = 1, a = 0,5, b = 2 + 0,5 = 2,5 (м),   = 1000 кг/ . Следовательно, 9) Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением  Найти уравнение движения точки. . Решение: Известно, что  скорость прямолинейного  движения  тела  равна  производной пути s по времени t, т.е.  , откуда ds = v dt. Тогда имеем  Это искомое уравнение. 10) Скорость тела задана уравнением   . Найти уравнение движения, если за время   тело прошло путь  . Решение: Имеем ds = v dt = (6 + 1) dt; тогда Подставив в найденное уравнение начальные условия s = 60 м, t = 3 c, получим  откуда С = 3. Искомое уравнение примет вид  м/с.  Найти  закон  движения  s(t), 11)  Тело  движется  со  скоростью  если   в   начальный   момент   тело   находилось   на   расстоянии   5   см   от   начала отсчета. Решение: Так как ds = v dt = ( Из условия следует, что если t = 0, то s = 5 см = 0,05 м. подставив эти данные , то  в полученное уравнение, имеем  Тогда искомое уравнение примет вид  откуда 0,05 = С. 12) Вычислить силу давления воды на плотину, имеющую форму трапеции, у которой верхнее основание, совпадающее с поверхностью воды, имеет длину 10 м, нижнее основание 20 м, а высота 3 м. Решение: 13) Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычислить силу давления ртути на боковую поверхность стакана, если его высота 0,1 м, а радиус основания 0,04 м. Плотность ртути равна 13600 кг/ Решение: . Вычислим площадь круглой полоски Элементарная сила давления составляет Следовательно VI. Самостоятельное   решение   задач   на   доске,   коллективный   разбор решений задач: 1. Скорость   движения   тела   задана   уравнением  .   Найти уравнение движения, если в начальный момент времени  2. Найти уравнение движения точки, если к моменту начала отсчета она прошла путь  , а его скорость задана уравнением  3. Скорость   движения   тела   пропорциональна   квадрату   времени.   Найти уравнение движения тела, если известно, что за 3 с оно прошло 18 м. 4. Тело   движется   прямолинейно   со   скоростью   м/с.   Найти путь, пройденный телом за 5 с от начала движения. 5. Скорость   движения   тела   изменяется   по   закону  м/с. Найти путь, пройденный телом за 4 с от начала движения. 6. Найти путь пройденный телом за 10­ю секунду, зная, что что скорость его прямолинейного движения выражается формулой   м/с. 7. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки, если   скорость   ее   прямолинейного   движения   изменяется   по закону   м/с. 8. Какую работу совершает сила в 8 Н при растяжении пружины на 6 см? 9. Сила   в   40   Н   растягивает   пружину   на   0,04   м.   Какую   работу   надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,02 м? 10.Вычислить   силу   давления   воды   на   вертикальную   прямоугольную пластинку,  основание  которой 30 м,  а высота  10  м,  причем верхний конец пластинки совпадает с уровнем воды. 11.Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см. VII. Подведение итогов урока: – вопросам Каким       был   посвящен   урок?   – –   Какие Чему   теоретические   научились на   факты   обобщались       на уроке?   уроке? – Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему? VIII. Домашнее задание Решить задачу, предложенную в начале урока 2 способами. IX. Список литературы: 1. Журнал «Потенциал» 2. «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. 3. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др. 4. «Учебник по математическому анализу» Град О.Г., Змеев О.А. 5. «Высшая   математика:   Учебник   для   вузов».   В   3   томах.   Бугров   Я.С. Никольский С.М. 6. «Математический анализ». Е.Б. Боронина