алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Дифференцирование показательной и логарифмической функций - Показательная и логарифмическая функции

Цель: привести формулы для производных показательной и логарифмической функций.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Выведите формулу  (где a, b > 0; а, b ≠ 1).

2. Известно, что lg 2 = а, lg 3 = b. Вычислите log₄12.

3. Решите уравнение 

Вариант 2

1. Выведите формулу  (где а, b > 0; а ≠ 1, r ≠ 0).

2. Известно, что lg 2 = a, lg 3 = b. Вычислите lg 18.

3. Решите уравнение 

III. Изучение нового материала

1. Число е. Функция у = е^х, ее свойства, график, дифференцирование

Графики показательной функции изображались гладкими линиями, к которым в каждой точке можно провести касательную. Существование касательной к графику функции у = а^х в точке х₀означает ее дифференцируемость в этой точке. Поэтому показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения.

Будем строить графики показательной функции у = а^х для различных оснований а и касательные к ним в точке M(0; 1). Эти касательные образуют различные углы с осью абсцисс. В курсе математического анализа доказывается, что при определенном значении а е (2; 3) такая касательная образует угол 45° с осью ОХ. При этом угловой коэффициент такой касательной (или производная функции у = а^х при х = 0) равен 1. Это число а обозначают буквой е. Доказано, что число е иррациональное (поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби) и приближенно равно е ≈ 2,718... . Функцию у = е^х называют экспонентой.

Итак, существует такое число е (е ≈ 2,718), что показательная функция у = е^х в точке х = 0 имеет производную, равную 1, т. е.  при Δх → 0.

Сначала найдем формулу для производной экспоненты.

Теорема. Функция у = е^х дифференцируема в каждой точке области определения и (е^х)' = е^х. Докажем это. Найдем приращение функции у = е^х в точке х₀. Получаем   Вычислим отношение приращения функции к приращению аргумента  при Δх → 0. Тогда по определению производной получаем у' = е^х или (е^х)' = е^хпри любом х.

Пример 1

Найдем производную функции: 

Данные функции являются сложными. Поэтому используем правило дифференцирования сложной функции и таблицу производных. Получаем:

Пример 2

Построим график функции 

Область определения этой функции - все действительные числа, т. е. х ∈ R. При х ≠ 0 функция принимает положительные значения у > 0, при х = 0 значение функции у = 0. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения функций:  Так как при всех значениях х величина е^х > 0, то производная обращается в 0 в двух точках: х = 0 и x = -2. Отметим эти точки на координатной оси и проставим знаки производной в трех интервалах. Видно, что при х = -2 функция имеет максимум  при х = 0 - минимум  Теперь легко построить график данной функции.

Пример 3

При всех значениях параметра а определим число решений уравнения х²е^х = а.

Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Для этого в одной системе координат надо построить графики двух функций у₁ = х²е^х (уже построен) и у₂ = а (прямая, параллельная оси абсцисс). Тогда очевидно, что при  имеется только одно решение, при  существуют три решения, а при  - два решения.

Пример 4

Напишем уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = х²е^х в точке с абсциссой х₀ = -1.

Воспользуемся результатами примера 2 и вычислим значение производной f(х) и самой функции f(x) в точке х₀ = -1. Получаем:  и  Подставим эти величины в уравнение касательной  Тогда имеем:  или 

2. Натуральные логарифмы. Функция у = ln x, ее свойства, график, дифференцирование

При вычислениях часто используются логарифмы по основанию е. Так как число е положительно и не равно 1, то такие логарифмы определены. Напомним, что подобные логарифмы (по основанию е) называются натуральными и обозначаются символом ln, Т. е. ln x = log_ex.

Пример 5

Вычислим  Сначала преобразуем логарифмируемую величину, используя понятие рационального показателя степени. Получаем  Теперь легко вычислить и сам логарифм: 

Прежде всего покажем, что производная  Используя определение логарифма, запишем тождество х = е^lnх и найдем производную от обеих частей этого равенства:  или  или  откуда 

Пример 6

Найдем производную функции: 

Приведенные функции являются сложными. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

Производная логарифмической функции используется во многих прикладных задачах.

Пример 7

Исследуем функцию у = xln² х и построим ее 1рафик.

Область определения этой функции - множество положительных чисел. При всех х ≠ 1 значения функции положительны, при х = 1 функция у = 0. Найдем производную данной функции:  Производная обращается в нуль в точках х = 1 и х = е². Отметим эти точки на координатной оси и расставим знаки производной в промежутках.

Видно, что функция у(х) возрастает на промежутках (0; е^-2] и [1; ∞) и убывает на промежутке [е^-2; 1]. В точке х = е^-2 ≈ 0,12 функция имеет максимум  и в точке х = 1 - минимум  Теперь легко построить график функции у(х). На рисунке представлен эскиз графика (не соблюден масштаб).

Пример 8

При различных значениях параметра а определим число решений уравнения xln²x = a.

В одной системе координат построим графики функций y₁ = xln² х (уже построен) и у₂ = а (горизонтальная прямая). Тогда легко ответить на вопрос задачи. При а ∈ (-∞; 0) уравнение решений не имеет (0 решений), при  - 1 решение; при  - три решения; при  - два решения.

Пример 9

Напишем уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = xln² х в точке х₀ = е.

Найдем значение производной f’(x) и самой функции f(x) в точке х₀ = е и получим  и  (воспользовались результатами примера 7). Подставим эти величины в уравнение касательной  Имеем:  Итак, уравнение касательной у = 3х - 2е.

Теперь обобщим полученные формулы. Рассмотрим показательную функцию у = a^x. Запишем ее в виде  и найдем производную  Итак, 

Рассмотрим функцию у = log_aх. Запишем ее в виде  и найдем производную:  Итак, 

Пример 10

Найдем производную функции: .

Используя приведенные формулы, получим:

IV. Контрольные вопросы

1. Напишите формулы для нахождения производных функций у = е^х и у = а^х.

2. Приведите формулы для нахождения производных функций у= lnх и у = log_ax.

V. Задание на уроках

§ 47, № 1 (б); 2 (а, б); 4 (в); 6 (а); 8 (б); 10 (а, б); 13 (в, г); 16 (а, б); 17 (в, г); 19 (а); 20 (б); 24 (б); 27 (а); 28 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 47, № 1 (г); 2 (в, г); 4 (г); 6 (в); 8 (г); 10 (в, г); 13 (а, б); 16 (в, г); 17 (а, б); 19 (б); 20 (а); 24 (в); 27 (б); 28 (б, г).

VII. Подведение итогов уроков