алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции

Цель: рассмотреть свойства и графики функций 

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение корня n-й степени из неотрицательного числа.

2. Решите уравнение (неравенство):

Вариант 2

1. Определение корня нечетной степени из отрицательного числа.

2. Решите уравнение (неравенство):

III. Изучение нового материала

Сначала обсудим свойства функции  для неотрицательных значений аргумента. Степенная функция у = хⁿ при х ∈ [0; +∞) монотонна. Поэтому такая функция обратима. Найдем обратную функцию. Из равенства у = хⁿ выразим переменную х и получим  Поменяем переменные х и у местами и получим функцию , обратную для функции у = хⁿ. Поэтому график функции  симметричен графику функции у = хⁿ относительно прямой у = х для х ≥ 0.

Перечислим основные свойства функции  (х ≥ 0):

1) область определения D(f) = [0; +∞).

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция возрастает на [0; +∞);

4) функция ограничена снизу и не ограничена сверху;

5) наименьшее значение функции у_наим = 0 при х = 0, наибольшего значения функция не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = [0; +∞);

8) функция выпукла вверх;

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х > 0 и не имеет производной в точке х = 0.

Пример 1

Построим график функции 

Построим вспомогательную систему координат с началом в точке (2; 1) и осями – прямыми y = 1 и х = 2. В этой новой системе координат построим график функции 

Можно было также сместить график функции  на две единицы вправо и на одну единицу вверх.

Пример 2

Решим уравнение 

В одной системе координат построим графики функций  и у = х + 1. Видно, что графики функций пересекаются в единственной точке А(0; 1). Проверка показывает, что эта точка принадлежит и графику функции , и графику функции у = х + 1. Тогда данное уравнение имеет единственный корень: х = 0 - абсцисса точки А.

Графический способ решения подсказывает и аналитическое решение. Легко проверить, что x = 0 — корень данного уравнения. При этом функция у = х + 1 возрастает, а функция  убывает. Тогда данное уравнение имеет только один корень.

Пример 3

Решим неравенство 

Сначала построим график функции . Очевидно, что у ≥ 0. Возведем обе части равенства в квадрат: у² = 4х - х² - и приведем его к виду (х² - 4х + 4) + у² = 4 или (x - 2)²+ у² = 2². Видно, что графиком функции  является верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0). Графиком функции у = х является биссектриса I и III координатных углов. Видно, что графики функций пересекаются в точках O(0; 0) и А(2; 2) и данное неравенство выполняется на промежутке х ∈ [0; 2].

Остановимся теперь на свойствах функции  в случае нечетного значения n и любых значений аргумента x. Очевидно, что такая функция является нечетной. Действительно, получаем:  Так как выполнено равенство у(-х) = -у(х), то функция  нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. На рисунке приведен график этой функции.

Перечислим основные свойства функции  для нечетного значения n:

1) область определения D(f) = (-∞; +∞);

2) функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат;

3) функция возрастает на (-∞; +∞);

4) функция не ограничена;

5) функция наименьшего и наибольшего значения не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = (-∞; +∞);

8) функция выпукла вниз на промежутке (-со; 0] и выпукла вверх на промежутке [0; +∞);

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х ≠ 0 и не имеет производной в точке х = 0.

Пример 4

Решим неравенство 

В одной системе координат построим графики функций  и у = 2х - 1. Графики функций пересекаются в единственной точке А(1; 1), и данное неравенство выполняется на промежутке х ∈(-∞; 1].

Пример 5

Построим и прочитаем график функции у = f(х), где 

Сначала построим график функции у = -х - 2 на промежутке (-∞; -1). Затем строим график функции  на промежутке [-1; +∞). С учетом построенного графика перечислим основные свойства функций:

1) область определения D(f) = (-∞; +∞);

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция убывает на (-∞; 1] и возрастает на [-1; +∞);

4) функция ограничена снизу и не ограничена сверху;

5) наименьшее значение функции у_наим = -1 при х = -1, наибольшего значения функция не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = [-1; +∞);

8) функция выпукла вниз на промежутке [-1; 0] и выпукла вверх на промежутке [0; +∞);

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х, кроме х = -1 и х = 0. Не имеет производной в точках х = -1 и х = 0.

Пример 6

Найдем область определения и область значений функции: 

а) Область определения функции задается условием 4х² - 9 ≥ 0. Решение этого неравенства D(f) = (-∞; -1,5] U [1,5; +∞). В этих промежутках функция принимает значения E(f) = [0; +∞).

б) Функция определена при всех значениях х, т. е. D(f) = (-∞; +∞). При этом сама функция также принимает все значения, т. е. E(f) = (-∞; +∞).

в) Область определения функции задается условиями х - 2 ≥ 0 и х² + 5 ≥ 0. Решение этой системы неравенств D(f) = [2; +∞). В этом промежутке функции х – 2 ≥ 0 и х² + 5 возрастающие. При этом х - 2 ≥ 0 и х² + 5 ≥ 9, тогда  и  Поэтому область значений данной функции E(f) = [12; +∞).

IV. Контрольные вопросы

1. Приведите свойства и график функции 

2. Перечислите свойства и приведите график функции  для нечетных n.

V. Задание на уроках

§ 34, № 1 (а, б); 3 (а); 4 (а, б); 5 (в, г); 6; 8 (а, б); 10 (в, г); 12; 14 (а, б); 15 (а); 16 (в); 17 (а, б); 18 (в); 19 (а, б); 21 (а); 22 (б).

VI. Задание на дом

§ 34, № 1 (в, г); 3 (в); 4 (в, г); 5 (а, б); 7; 8 (в, г); 10 (а, б); 13; 14 (в, г); 15 (б); 16 (г); 17 (в, г); 18 (а); 19 (в, г); 21 (б); 22 (а).

VII. Подведение итогов уроков