алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Решение показательных уравнений и неравенств - Показательная и логарифмическая функции

Цели: систематизировать виды показательных выражений; рассмотреть способы решений уравнений, систем уравнений, неравенств.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Найдите значение выражения 

Ответы: а) 1; б) 25; в) 5; г) 1/5.

2. Упростите выражение 

Ответы: 

3. Найдите область значений функции 

Ответы: 

Вариант 2

1. Найдите значение выражения 

Ответы: а) 1; б) 4; в) 2; г) 1/4.

2. Упростите выражение 

Ответы: 

3. Найдите область значений функции 

Ответы: 

III. Изучение нового материала

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное л: входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Пример 1

а) Уравнение  показательное;

б) уравнение  не является показательным. Рассмотрим систематику показательных выражений и способы решения уравнений. Так как показательная функция a^x монотонна и ее область значений (0; ∞), то простейшее показательное уравнение a^x = b имеет единственный корень при b > 0. Именно к виду a^x = b надо сводить более сложные уравнения.

1. Простейшие уравнения

Пример 2

Решим уравнение 

Правую часть уравнения представим в виде степени числа 4 и получим:  Так как равны степени числа 4, то равны и показатели степеней. Имеем квадратное уравнение х² + 3х = -2 или х² + 3х + 2 = 0. Корни этого уравнения x₁ = -1 и х₂ = -2 являются и решениями данного уравнения.

2. Уравнения, решаемые его преобразованиями

Пример 3

Решим уравнение 

Так как все слагаемые в левой части уравнения имеют вид 5^х+а (где а - некоторое число), то вынесем общий множитель 5^х за скобки. Получаем:  или 5^х ∙ 100 = 4. Разделим обе части уравнения на число 100. Имеем:  или 5^х = 5^-2. Так как равны степени числа 5, то равны и показатели степеней. Тогда находим единственный корень данного уравнения х = -2.

Вынесение общего множителя за скобки можно использовать и при решении уравнений, содержащих степени с двумя разными основаниями.

Пример 4

Решим уравнение 

В данное уравнение входят числа 2 и 3 в различных степенях. Поэтому сгруппируем члены уравнения, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, - в правой. Получаем:  В левой части вынесем за скобки общий множитель  в правой - общий множитель  Имеем:  или  или  Разделим обе части этого уравнения на правую часть (очевидно, она не равна нулю):  или  или  Так как равны степени числа 9/2, то равны и показатели степеней:  откуда х = 3/2.

3. Уравнения, решаемые разложением на множители

Одним из наиболее распространенных преобразований является разложение уравнения на множители. В частности, оно используется при различных основаниях степеней.

Пример 5

Решим уравнение 

Число 5400 разложим на простые множители:  Тогда уравнение имеет вид:  Разделим обе части уравнения на его правую часть. Получаем или  или  или  тогда x - 2 = 0 и х = 2.

Разложение на множители также используется и в уравнениях, содержащих, помимо показательных функций, другие функции.

Пример 6

Решим уравнение 

Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки. Имеем:  или  или  или  Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Получаем два уравнения:

а) 5^х - 1 = 0 или 5^х = 5⁰, откуда х = 0;

б) 2 sin x - 1 = 0 или sin x = 1/2, тогда  где n ∈ Z.

4. Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной

Как и в уравнениях других видов, в случае показательных уравнений часто используется замена неизвестной.

Пример 7

Решим уравнение 

Запишем данное уравнение в виде  и введем новую неизвестную t = 3^х > 0. Получаем уравнение  или 3t² – 8t - 3 = 0. Корни этого квадратного уравнения t₁ = 3 и t₂ = -1/3 (не подходит, т. к. t > 0). Получаем простейшее показательное уравнение 3^х = 3, решение которого х = 1.

Пример 8

Решим уравнение 

Учтем основное тригонометрическое тождество  тогда  Уравнение теперь имеет вид:  Введем новую неизвестную  и получим уравнение  или t² - 6t + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения t₁ = 2 и t₂ = 4. Вернемся к старой неизвестной х и получим два уравнения:

а)  тогда sin²х = 1 или sinx = ±1. Решение этих уравнений  где n ∈ Z.

б)  откуда sin²х = 2. Это уравнение решений не имеет, т. к. функция синус ограниченна: sinx ≤ 1 и sin²x ≤ 1 - при всех х.

В ряде случаев для решения показательного уравнения приходится вводить две новые переменные и сводить уравнение к однородному.

Пример 9

Решим уравнение 

Запишем данное уравнение в виде  и введем две новые неизвестные  Получаем однородное уравнение а² + b² - 2ab = 0 или (а - b)² = 0, откуда а - b = 0 или а = b. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем уравнение  Так как равны степени числа 3, то равны и показатели степеней. Имеем квадратное уравнение: х + 6 = х² или 0 = х² - х - 6, корни которого x₁ = -2 и х₂ = 3.

5. Уравнения, решаемые с помощью его специфики

Название этого типа уравнений достаточно условно: при решении любого уравнения в той или иной степени учитывается его специфичность. Поэтому рассмотрим несколько примеров.

Пример 10

Решим уравнение 

Легко угадать корень уравнения: х = 2. Действительно, при подстановке получаем верное равенство: 7² + 24² = 25². Покажем, что других решений уравнение не имеет. Разделим все члены уравнения на его правую часть и получим:  Очевидно, что функции  убывающие, т. к. их основания меньше 1.

Сумма этих функций также является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

Пример 11

Решим уравнение 

Данное уравнение не является показательным, т. к. неизвестная входит и в основание, и в показатель степени.

При решении уравнений вида  необходимо помнить, что число х₀ будет корнем этого уравнения, если имеет место один из следующих четырех случаев:

а) f(х₀) = -1, а числа g(x₀) и h(x₀) - целые числа одинаковой четности;

б) f(х₀) = 0, а числа g(x₀) и h(х₀) положительные;

в) f(х₀) = 1, а функции g(x) и h(х) определены при х = х₀;

г) g(x₀) = h(х₀), а функции  определены при х = х₀.

Рассмотрим все перечисленные выше случаи:

а) х - 2 = -1, т. е. х= 1. При этом х² + 2х = 1² + 2 ∙ 1 = 3 и 11х - 20 = 11 ∙ 1 - 20 = -9, т. е. числа 3 и -9 - целые числа одинаковой четности и числа (-1)³ и (-1)^-9 существуют и равны - 1;

б) х - 2 = 0, т. е. х = 2. При этом х² + 2х = 2² + 2 ∙ 2 = 8 и 11х - 20 = 11 ∙ 2 - 20 = 2, т. е. числа 8 и 2 положительные и числа 0⁸ и 0² существуют и равны;

в) х - 2 = 1, т. е. х = 3. При этом х² + 2х = 3² + 2 ∙ 3 = 15 и 11х - 20 = 11 ∙ 3 - 20 = 13, т. е. функции х² + 2х и 11х - 20 при х = 3 определены. Заметим, что числа 1¹⁵ и 1¹³ равны друг другу и равны 1;

г) х² + 2х = 11х - 20 или х² - 9х + 20 = 0, т. е. x₁ = 4 и х₂ = 5.

При х = 4 функции, входящие в уравнение, определены:  и  - и их значения равны друг другу и равны 2²⁴. При х = 5 функции также определены: - и их значения равны 3³⁵.

Итак, уравнение имеет пять корней: x₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, x₄ = 4, x₅ = 5.

Обратимся теперь к задачам, для решения которых необходимо найти области изменения функций, входящих в уравнение.

Пример 12

Решим уравнение 

Найдем области изменения функций  Первая функция показательная с основанием 2 > 1, и так как |х - 1| ≥ 0, то у ≥ 2⁰ = 1. Вторая функция - парабола, направленная ветвями вниз, проходящая через точки х = 0 и х = 2. Максимум этой параболы достигается при х = 1 и равен у = 2 ∙ 1 - 1² = 1. При остальных х у ≤ 1. Таким образом, значения этих двух функций совпадают только при х = 1 и равны 1. Итак, х = 1 - корень уравнения. Полезно решение в простейших случаях, например в этом, иллюстрировать графическим решением (см. рисунок).

6. Уравнения, решаемые графически

При решении уравнений, содержащих показательные и другие функции, достаточно часто используется графический способ.

Пример 13

Решим уравнение 

Построим графики функций  Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке А, абсцисса которой х = 2 является решением данного уравнения.

Показательные неравенства

При решении простейших показательных неравенствa^f(x) v b используется монотонность показательной функции: при 0 < a < 1 функция убывающая, при a > 1 - возрастающая. Поэтому при рассмотрении показателей степеней в первом случае знак неравенства меняется на противоположный, во втором - сохраняется.

Пример 14

Решим неравенство 

Запишем неравенство в виде  Так как основание 2 показательной функции больше единицы (показательная функция возрастающая), то показатели степеней связаны неравенством того же знака:  или х² - 14,5 + 30 < 0. Решение этого квадратного неравенства х ∈ (2,5; 12).

Пример 15

Решим неравенство  Так как основание 0,8 показательной функции меньше 1 (показательная функция убывающая), то показатели степеней связаны неравенством противоположного знака: х³ - 3х + 4 ≤ 2 или х³ - 3х + 2 ≤ 0. Разложим левую часть на множители: (х - 1)²(х + 2) ≤ 0 и решим это кубическое неравенство методом интервалов. Получаем решение: х ∈ (-∞; -2] U {1}.

При решении более сложных неравенств используются те же приемы, что и при решении аналогичных уравнений.

Пример 16

Решим неравенство 

Введем новую неизвестную t = 3^х > 0 и получим рациональное неравенство:  или  или  Учтем, что t > 0, и решим это неравенство методом интервалов. Получаем: t ∈ (1/3; 3]. Вернемся к старой неизвестной. Имеем двойное неравенство 3^-1 < 3^х ≤ 3. Так как основание 3 степеней больше единицы, то показатели степеней связаны неравенствами того же знака: -1 < х ≤ 1 или x ∈ (-1; 1].

Пример 17

Решим неравенство 

ОДЗ неравенства х ∈ (2; ∞).Запишем неравенство в виде  и найдем корни соответствующего уравнения: x₁ = 3 и х₂ = 4. Решая методом интервалов это неравенство с учетом ОДЗ, получаем: х ∈ (2; 3] U [4; ∞).

Системы показательных уравнений

При решении систем показательных уравнений применяются те же способы, что и для решения показательных уравнений. Достаточно часто системы непосредственно сводятся к системам алгебраических уравнений.

Пример 18

Решим систему уравнений 

Запишем данную систему уравнений в виде  Получаем систему алгебраических уравнений  Из второго уравнения выразим у = 2х - 4 и подставим в первое. Имеем:  или 5х² – 2x - 3 = 0. Корни этого уравнения x₁ = 1 и х₂ = -3/5. Найдем соответствующие значения у₁ = -2 и  Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и 

Разумеется, при решении систем уравнений широко используется замена неизвестных.

Пример 19

Решим систему уравнений 

Из второго уравнения найдем: 2х - у = 3, откуда y = 2х - 3. Подставим это соотношение в первое уравнение и получим:  или  Введем новую неизвестную: t = 3^х > 0. Имеем квадратное уравнение  или 2t² + 27t - 405 = 0, корни которого t₁ = 0 и t₂ = -22,5 (не подходит, т. е. t > 0). Возвращаясь к старым неизвестным, получаем уравнение 3^х = 9, находим: х = 2 и у = 1.

Пример 20

Решим систему уравнений 

Систему уравнений запишем в виде  и введем новые переменные a = 3^х и b = 5^y (при этом a, b > 0). Получаем систему алгебраических уравнений  или  Из второго уравнения выразим b = 10 - а² и подставим в первое. Имеем: 2а + 105(10 - а²) = 111 или 0 = 105а² - 2а - 939. Корни этого квадратного уравнения а₁ = 3 и а₂ = -313/105 (не подходит, т. к. а > 0). Найдем b = 10 - 3² = 1. Вернемся к старым неизвестным. Получаем систему простейших показательных уравнений  откуда х = 1 и у = 0.

IV. Задание на уроках

§ 40, № 7 (а, б); 12 (в, г); 13 (а, в); 15 (б, г); 17 (а, б); 18 (а); 21 (б); 23 (а, б); 26 (в, г); 28 (б); 29 (а); 34 (а, б); 39 (а, в); 41 (б, г); 45 (а, в); 49 (а, б); 50 (a).

V. Задание на дом

§ 40, № 7 (в, г); 12 (а, б); 13 (б, г); 15 (а, в); 17 (в, г); 18 (б); 21 (а); 23 (в, г); 26 (а, б); 28 (г); 29 (б); 34 (в, г); 39 (б, г); 41 (а, в); 45 (б, г); 49 (в, г); 50 (б).

VI. Творческие задания

1. Решите показательное уравнение:

2. Решите показательное неравенство:

3. Решите систему показательных уравнений:

VII. Подведение итогов уроков