алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Логарифмические неравенства - Показательная и логарифмическая функции

Цель: рассмотреть особенности решения логарифмических неравенств.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Решите систему уравнений:

Вариант 2

1. Решите уравнение:

2. Решите систему уравнений:

III. Изучение нового материала

При решении простейших логарифмических неравенств log_a х v b необходимо учитывать монотонность логарифмической функции log_a х: при 0 < a < 1 эта функция убывает, при a > 1 возрастает.

Пример 1

Решим неравенство log₂ (x - 13) ≤ 3.

ОДЗ неравенства задается условием х - 13 > 0. Запишем данное неравенство в виде  Так как основание логарифмов 2 больше единицы, то логарифмическая функция возрастающая и аргументы логарифмов связаны неравенством того же знака: х - 13 ≤ 8. С учетом ОДЗ получаем, что данное неравенство равносильно двойному линейному неравенству 0 < х - 13 ≤ 8, решение которого х ∈ (13; 21].

Пример 2

Решим неравенство 

ОДЗ неравенства определяется условием 3х - 2 > 0. Так как основание логарифмов 2 меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы логарифмов связаны неравенством противоположного знака, т. е. 3х - 2 > 7. С учетом ОДЗ получаем, что данное неравенство равносильно системе неравенств  Так как второе неравенство более жесткое, чем первое, то полученная система (в свою очередь) равносильна второму неравенству 3х - 2 > 7, решение которого х ∈ (3; ∞).

Такие же соображения используются и при решении более сложных неравенств.

Пример 3

Решим неравенство 

Учтем, что основание логарифма 1/2 меньше единицы, ОДЗ неравенства и  Тогда данное неравенство равносильно двойному неравенству  Запишем это неравенство в виде системы неравенств и решим ее методом интервалов. Получаем:  или  или  откуда  тогда  Итак, решение данного неравенства 

Пример 4

Решим неравенство 

ОДЗ неравенства: х ∈ (0; +∞). Возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 10. При этом знак неравенства не изменится, т. к. основание логарифма больше 1:  Введем замену у = lgx и придем к неравенству третьей степени  или  которое легко решается разложением на множители  или у - 3 > 0, откуда у > 3. Получаем простейшее логарифмическое неравенство lgx > 3, откуда х > 10³ = 1000. Итак, решение неравенства х ∈ (1000; +∞).

В случае, если в основание показательной или логарифмической функции входит неизвестная величина х, то, естественно, необходимо рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит промежутку (0; 1) и когда принадлежит промежутку (1; +∞).

Пример 5

Решим неравенство 

ОДЗ неравенства определяется условиями  или  откуда х ∈ (-3; - 2) U (-2; 0) U (1; +∞).

а) При 0 < х + 3 < 1, т. е. х ∈ (-3; -2), имеем:  откуда х² - х > х + 3, так как при таком основании логарифмическая функция убывающая. Решив это неравенство, найдем: х ∈ (-∞; -1) U (3; +∞). Однако необходимо учесть ограничения на х (х ∈ (-3; - 2)). Тогда получаем х ∈ (-3; - 2).

б) При х + 3 > 1, т.е. х ∈ (-2; +∞), а с учетом ОДЗ х ∈ (-2; 0) U (1; +∞), имеем:  откуда х² – х < х + 3, так как при основании большем 1 логарифмическая функция возрастающая. Решив это неравенство, найдем х ∈ (-1; 3). С учетом ограничений на х получаем: х ∈ (-1; 0) U (1; 3).

Объединяя первый и второй случаи, получаем решение неравенства: х ∈ (-3; -2) U (-1; 0) U (1; 3).

Разумеется, при решении логарифмических неравенств (как и других неравенств) очень эффективен метод интервалов.

Пример 6

Решим неравенство 

ОДЗ неравенства задается условиями 

Решение этой системы линейных неравенств х > -0,5. Найдем значения х, при которых числитель и знаменатель данной дроби обращаются в нуль. Решив уравнение log₂(x + 3) - 2 = 0, найдем х = 1. Решая уравнение log₅(2x + 1) - 1 = 0, получим х = 2. Нанесем эти точки на координатную ось. Для любого значения х, входящего в ОДЗ, определим знак данной дроби. Например, для х = 10 получаем:  Сделаем грубые оценки: log₂13 ≈ 4 и log₂21 ≈ 2. Поэтому данная дробь имеет положительный знак. Теперь, учитывая ОДЗ выражения, строим диаграмму его знаков. Из диаграммы видно, что решения неравенства - промежуток х ∈ [1; 2).

Особенно полезен метод интервалов, если в неравенство входят выражения разных типов.

Пример 7

Решим неравенство 

Очевидно, что ОДЗ неравенства х > 4. Числитель дроби обращается в нуль при х = 7, знаменатель - 1 при х = -1 и х = 5. Отметим эти точки на координатной оси. Определим знак данного выражения. Например, при х = 13 получаем:  С учетом ОДЗ выражения строим диаграмму его знаков. Из диаграммы получаем решения неравенства х ∈ (4; 5) U [7; +∞).

IV. Задание на уроке

§ 45, № 3 (а, б); 5 (в, г); 7 (б); 9 (а, б); 10 (б); 12 (а, б); 13 (в); 16 (б); 17 (a); 18 (б).

V. Задание на дом

§ 45, № 3 (в, г); 5 (а, б); 7 (г); 9 (в, г); 10 (г); 12 (в, г); 13 (г); 15 (б); 16 (a); 17 (б); 18(a).

VI. Творческие задания

Решите неравенство:

VII. Подведение итогов урока