Алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Определение первообразной и ее общий вид - Первообразная - Первообразная и интеграл

Цель: рассмотреть понятие первообразной функции и связь между первообразной и производными функциями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала

Как известно из курса 10 класса, понятие производной в механике было связано с нахождением мгновенной скорости и ускорения по известному закону изменения перемещения от времени S(t). Например, для равноускоренного движения зависимость  где S₀ и v₀ - начальное перемещение и скорость тела соответственно (т. е. перемещение и скорость в момент времени t = 0); а — ускорение. Найдя производную от зависимостиS(t), получим закон изменения мгновенной скорости от времени:  Вычислив производную от величины v(t) (или вторую производную от функции S(t)), найдем закон изменения ускорения от времени:  В данном случае ускорение оказалось постоянным (не зависящим от времени). Поэтому такое движение называется равноускоренным, т. е. происходящим с одинаковым (равным) ускорением. Таким образом, операция дифференцирования (нахождения производной) по закону перемещения позволяет находить скорость и ускорение тела.

В механике очень часто возникает обратная задача: по известному закону изменения ускорения от времени a(t) найти поведение скорости v(t) и перемещения S(t). Иными словами, по заданной производной v’(t) (равной ускорению a(t)) надо восстановить саму функцию v(t). Затем по известной производной S’(t) (равной скорости v(t)) надо найти функцию S(t).

Для решения подобных задач (восстановление функции по ее известной производной) служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. Цель этой главы — постепенно познакомить учащихся с интегрированием функций. Для этого придется вводить ряд необходимых понятий.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполнено равенство F'(x) = f(x).

Пример 1

Функция F(x) = х⁵ является первообразной для функции f(x) = 5х⁴ на промежутке (-∞; ∞), т. к. для всех х из этого интервала выполнено равенство 

Заметим, что функция  например, также является первообразной для функции f(x) = 5х⁴ на R, т. к.  Очевидно, если вместо числа √3 поставить любую постоянную величину, результат от этого не изменится. Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений (или говорят, что первообразная вычислена с точность до постоянной).

Пример 2

Функция F(x) = sinx является первообразной для функции f(x) = cos х на R, т. к. для всех х из этого интервала выполнено равенство  Так же как и в примере 1, функция  (где с - любая постоянная величина) тоже первообразная для функции f(x) = cos х на R, т. к. выполнено равенство 

Пример 3

Для функции  на интервале (0; ∞) первообразной является функция  т. к. 

Все первообразные для функции f(х) можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f(x). Для этого используют теорему (основное свойство первообразных): любая первообразная Ф(х) для функции f(x) на промежутке имеет вид Ф(х) = F(x) + с, где F(x) - одна из первообразных для функции f(x) на этом промежутке, с - произвольная постоянная.

Докажем это утверждение. Найдем производную функции  По условию F(x) - первообразная для функции и справедливо равенство F'(x) = f(x). Но тогда выполнено и равенство Ф’(х) = f(x). Поэтому функция Ф(х) также первообразная для функции f(x).

Основное свойство первообразной имеет простой геометрический смысл: графики любых двух первообразных Ф(х) и F(x) для функции f(x) получают друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат.

Теперь рассмотрим типичные задачи на применение основного свойства первообразной.

Пример 4

Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = х - 3х² и первообразную F₀(x), для которой F₀(2) = 5.

Можно догадаться, что одной из первообразных для функции f(x) является функция  т. к.  По доказанной теореме общий вид первообразных для функции f(x) может быть записан так: 

Для нахождения постоянной с используем данное условие. Подставим в функцию F(x) значение х = 2 и получим уравнение:  или 5 = -6 + с, откуда с = 11. Тогда искомая первообразная 

Пример 5

Найти первообразную F₀(x) для функции f(х) = 3cos х, если F₀(2π) = 1. Построить график функции F₀(x).

Учитывая данные таблицы производных, найдем для функции f(x) общий вид первообразных F(x) = 3sin x + с. Действительно, выполняется равенство  для всех x ∈ R. Из всех этих первообразных F(x) нас интересует только одна F₀(x), удовлетворяющая условию F₀(2π) = 1. Поэтому для нахождения постоянной с получаем уравнение: 1 = 3sin 2π + с или 1 = с. Тогда искомая первообразная F₀(x) = 3sin х + 1.

III. Контрольные вопросы

1. Расскажите о применении интегрирования в механике.

2. Объясните основную цель интегрирования.

3. Дайте определение первообразной функции.

4. Приведите общий вид первообразных для функции f(х) и обоснуйте его.

5. Объясните геометрический смысл основного свойства первообразной.

IV. Задание на уроке

§ 48, № 1 (а, б); 2 (в, г); 12 (а, б); 14.

V. Задание на дом

§ 48, № 1 (в, г); 2 (а, б); 12 (в, г); 13.

VI. Подведение итогов урока