Бином Ньютона

Выполнил : Курило Никита,
11 «Б» класс,
МАОУ «Гимназия № 19»,  г. Миасс
Проверила: Копылова С.В.МАОУ «Гимназия № 19»
Миасский городской округ, 2021
 

Бином Ньютона

Бином Ньютона

История возникновения
В художественной литературе
Биноминальная формула Ньютона
Формула биноминальных коэффициентов
Треугольник Паскаля
История возникновения треугольника
Строение треугольника
Задачи
Источники информации

История возникновения

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

Биноминальная формула Ньютона

— биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Формула биноминальных коэффициентов

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам

Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры:

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Треугольник Паскаля

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» , которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих предшественников.

История возникновения треугольника

Строение треугольника

Строки треугольника обычно нумеруются, начиная со строки n = 0 в верхней части. Записи в каждой строке целочисленные и нумеруются слева, начиная с k = 0, обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строчках. Построить фигуру можно следующим образом: В центре верхней части листа ставится цифра "1". В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма). В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом "1". Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух цифр над ним. Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1. С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля (n k) = (n - 1 k-1) + (n - 1 k), для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно. Трёхмерная версия называется пирамидой или тетраэдром, а общие — симплексами.

Записать разложение бинома

Стр. 332 №1092- 1)

Записать разложение бинома

Стр. 332 №1092- 4)

Записать разложение бинома

Стр. 332 №1092- 6)

Записать разложение бинома

Стр. 332 №1092- 7)

Записать разложение бинома

Стр. 332 №1093- 1)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Бином_Ньютона

https://nauka.club/matematika/treugolnik-paskalya.html

https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/nachalnye-svedeniia-kombinatoriki-9340/treugolnik-paskalia-binom-niutona-9489/re-68cef02b-cc12-4a58-8840-b3a2004cf3dd

ньютон

Учебник Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва и др.].- 5е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 483с.

Источники информации

Выполнил : Курило Никита,
11 «Б» класс,
МАОУ «Гимназия № 19»,  г. Миасс
Проверила: Копылова С.В.МАОУ «Гимназия № 19»
Миасский городской округ, 2021
 

Бином Ньютона

Спасибо за внимание!