"Числовая последовательность, способы ее задания и свойства" (9 класс, алгебра)

Алгебра. 9 класс Урок   № 32 Дата:_____________ Учитель:   Горбенко Алена Сергеевна Тема:  Числовая последовательность, способы ее задания и свойства Тип урока:  комбинированный Цель урока: дать понятие и определение числовой последовательности, рассмотреть способы  задания числовых последовательностей  Задачи: Образовательные: ознакомить учащихся с понятием числовой последовательности и членом  числовой последовательности; ознакомиться с аналитическим, словесным, рекуррентным и  графическим способами задания числовой последовательности; рассмотреть виды числовой  последовательности; подготовка к ВОУД; Развивающие: развитие математической грамотности, мышления, техники вычисления, навыки  сравнения при выборе формулы; привитие интереса к математике;  Воспитательные: воспитание навыков самостоятельной деятельности; четкость и  организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;  Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал. Ход урока I. Организационный момент  Взаимное приветствие;  Фиксация отсутствующих;  Объявление темы урока;  Постановка целей и задач урока учащимися. Последовательность ­ одно из самых основных понятий математики. Последовательность может  быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие  могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями. II. Актуализация опорных знаний. Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных  III. промежутках:  линейная функция у = кх+в, квадратичная функция у = ах2+вх+с,    функция у =     функция у =|х|.   Подготовка к восприятию новых знаний прямая пропорциональность у = кх, обратная пропорциональность у =к/х, кубическая функция у = х3, , Но бывают функции, заданные на других множествах. Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка  родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника.  Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова  последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно  её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это ­ последовательность значений роста. Две последовательности связаны друг с другом. Вторая получается из первой сложением.  Рост ­ это сумма приростов за все предыдущие годы. Рассмотреть  ещё несколько задач. Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет  на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день? (Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620). Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост  у ученика С. ­ 180 см. Какого роста он будет в 2026 году? (2м  30 см). Но этого быть не  может. Почему? Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих.  Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).   Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел – числовые  последовательности.  Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности. Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются  последовательности. IV. Изучение нового материала Определение: Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве  натуральных чисел (последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать). Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о  функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в  древности: 1, 2, 3, 4, 5, : ­ последовательность натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10, :­ последовательность четных чисел; 1, 3, 5, 7, 9, : ­ последовательность нечетных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, : ­ последовательность квадратов натуральных чисел; 2, 3, 5, 7, 11, : ­ последовательность простых чисел; ,  1,  Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей ­  , :­ последовательность чисел, обратных натуральным. ,  монотонно возрастающие, последняя ­ монотонно убывающая. Обозначение: у1, у2, у3, у4, у5,: 1, 2, 3, 4, 5, :п,:­порядковый номер члена последовательности. (уп)­ последовательность, уп­ п­ый член последовательности. (ап)­ последовательность, ап ­ п­ый член последовательности. ап­1 ­предыдущий член последовательности, ап+1 ­ последующий член последовательности. Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие. Задания учащимся: Записать первые 5 членов последовательности: От первого натурального числа увеличение на 3. От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1. От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза. Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями. Способы задания последовательностей: Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или  когда закономерности между элементами последовательности нет. Пример 1.Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... . Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... . Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... Аналитический способ. Любой n­й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n. Пример 2.Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n2; 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... . Пример 3. Стационарная последовательность: y = C; C, C, C, ...,C, ... Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... . Пример 4. Последовательность y = 2n; 2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... . Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n­й элемент последовательности, если  известны её предыдущие элементы. Пример 1. Арифметическая прогрессия: a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные числа, d ­  разность арифметической прогрессии. Пусть a1=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия  будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... . Пример 2. Геометрическая прогрессия: b1= b, bn+1= bnq, где b и q – заданные числа, b   0,   0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b1=23, q=½, тогда геометрическая  q  прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... . 4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… Пример: Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом. Решение. Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n. Получаем: (1; ­3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7). Следовательно, a1= ­3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7. Ответ: ­3; 1; 4; 6; 7. V. Первичное закрепление изученного материала Пример 1. Составить возможную формулу n­го элемента последовательности (yn): а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...; б) 4, 8, 12, 16, 20, ...; Решение. а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно  задать формулой   y = 2n+1. б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего  на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n. Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y1=1,  y2=2, yn = yn­2+yn­1, если n = 3, 4, 5, 6, ... . Решение. Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих  элементов. y1=1; y2=2; y3=1+2=3; y4=2+3=5; y5=3+5=8; y6=5+8=13; y7=8+13=21; y8=13+21=34; y9=21+34=55; y10=34+55=89. VI. Подведение итогов урока. Рефлексия 1. Что у вас удалось при выполнении задания? 2. Была ли работа слаженной? 3. Что не получилось, на ваш взгляд?