Числовые характеристики случайных величин.

План урока алгебры в 9 классе. Тема урока: «Числовые характеристики случайных величин». Цели урока:    познакомить учащихся с модой и медианой, методами вычисления медианы; ввести понятие закона больших чисел. Используемые средства обучения: ПК, проектор. Ожидаемые результаты. Учащиеся должны: – уметь объяснить, что такое медиана и уметь ее вычислять; – понимать, что такое наибольшее и наименьшее значения набора чисел, размах и уметь их  вычислять; – знать, что такое мода. Ход урока. I. Организационный момент Сообщить тему и цели урока. II. Актуализация знаний учащихся Закрепление знаний. Умений и навыков учащихся по нахождения математического  ожидания и дисперсии случайных величин III. Самостоятельная работа Задача 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной  законом распределения:  Вариант 1. Вариант 2. X – 4 6 10 P 0,2 0, 3 0,5 X P 0,21 0,54 0,61 0,1 0,5 0,4 Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны  математические ожидания Х и Y: Вариант 1. Z = X +2Y, M(X) = 5. M(Y) = 3. Вариант 2. Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6. III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков. Пример. Пусть в течение суток отмечали через каждый час температуру воздуха в городе.  Для полученных данных полезно не только вычислить среднесуточную температуру, но и  колебание температуры в течение этих суток – размах. Размахом случайных величин называется разность между наибольшим и наименьшим из  этих чисел. Иногда может заинтересовать наиболее часто встречающееся число – мода. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем. Например, для  случайной величины, имеющей значения 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды – это  значения 47 и 52. А для значений 69, 68, 66, 80. 67, 65, 71. 74, 63, 73, 72 – моды нет. Моду обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель,  например наиболее распространенную цену на товар данного вида. При расфасовке товара  необходимо выявить, какому виду товара отдают предпочтение покупатели, в какой  расфасовке. Рассмотрим еще пример. Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими  одной бригады, получили такой ряд данных: 36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39,  39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36. Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно  предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е. такой  ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.  Получим: 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39. Вычислим среднее арифметическое:  Размах ряда равен 39 –35 = 4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего  встречается в этом ряду. Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36  деталям. Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих  чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами  ряда. Другим показателем случайной величины является медиана – число, которое разделяет  значение случайной величины на две части, одинаковые по численности. Например, для значений случайной величины Х Х    1     4      7      9      11, число 7 – медиана, а для  Y     1     1      2     5   102  медианой является число 2. Если в наборе чисел есть резко выделяющиеся значения, то медиана лучше, чем среднее  арифметическое, показывает, как этот набор расположен на числовой прямой. Рассмотрим  пример. Пример. В России в 2002 г. было 13 городов с числом жителей более 1 млн. человек.  Данные о населении этих городов в тысячах человек за разные годы приведены в таблице. Таблица. Города России с числом жителей более 1 млн. человек. Город Волгоград Екатеринбург Казань Москва Население, тыс. чел. 1979 1989 2002 926 999 1013 1210 1296 1293 989 1085 1105 8057 8878 10358 Нижний Новгород 1342 1400 1311 Новосибирск 1309 1420 1426 Омск Пермь 1016 1149 1134 989 1041 1000 Ростов­на­Дону 925 1008 1070 Самара 1192 1222 1158 Санкт­Петербург 4569 4989 4669 Уфа Челябинск 977 1080 1042 1030 1107 1078 Рис. 6. Найдем среднее значение численности жителей этих городов в 2002 г. Для этого нужно  сложить числа последнего столбца и сумму разделить на 13. В таблице нет города, население которого было бы близко к этой величине. Почти во всех  городах население немного превышает 1 млн. человек. Исключение составляют Москва и  Санкт­Петербург. Из­за этих двух городов среднее арифметическое не дает представления  о населении «среднего», «типичного» крупного города. Лучшее представление о населении «среднего», «типичного» города­миллионера дает  медиана. Упорядочим числа последнего столбца и найдем медиану: 1000; 1013; 1042;  1070;  1078;  1105;  1134;  1158;   1293;   1311;  1426; 4669; 10358. Медиана равна 1134 тыс. человек. Это население г. Омска. В шести городах из тринадцати:  Москве, Санкт­Петербурге, Новосибирске, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге и Самаре  число жителей превышает население Омска, а в остальных шести городах оно меньше. Метод вычисления медианы.  Чтобы найти медиану набора, числа следует записать по возрастанию. Затем нужно  выбрать одно число посередине, либо два числа и найти их полусумму. Если в полученном наборе четное количество чисел, то медиана – полусумма двух чисел,  расположенных посередине этого набора на числовой оси. Рассмотрим пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого  акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками,  представлены в виде следующего упорядоченного ряда: 2,  2,  2,  2,  2,    3,  3, . . . , 3,    4,  4, . . . ,  4,   100.                 12 раз                          16 раз Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана  равна среднему   арифметическому 17­го и 18­го членов, т.е. (3 + 4) : 2 = 3,5.  Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, то  есть в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций. Мы видим, что в  данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как все сотрудники, кроме одного, приобрели не более 4 акций. Домашнее задание Выучить все определения. Задача 1. Дан набор равновероятных чисел 3; 6; 4; –2; 5; 8. Найдите математическое  ожидание и медиану этого набора. Задача 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X     10       20        30       40      50       60  P     0,24    0,36     0,20    0,15   0,03    0,02. Найти моду.