Декция делимость чисел

Делимость целых неотрицательных чисел. Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел  является понятие делимости. Признаки делимости на ряд чисел известны из ранее изученного. Такие как: Признак делимости на 2 Если последняя цифра в записи числа четная или 0, то число делится на 2 без  остатка Например,4,130,1567890 и т.д. Признак делимости на 5 Если последняя цифра в записи числа 5 или 0, то число делится на 5 без  остатка Например,5,130,1567890 и т.д. Признак делимости на 10 Если последняя цифра в записи 0, то число делится на 10 без остатка Например,500,1390,154320 и т.д. Признак делимости на 3 Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на 3, то число делится на  3 без остатка Например,510,1380,154320 и т.д. Признак делимости на 9 Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на 9, то число делится на  9 без остатка Например,5130,13860,1543230 и т.д. Признак делимости на 4 Натуральное число делится на 4, если оно заканчивается на два нуля, или на  число, кратное 4 Например,124,1000 и т.д. Признак делимости на 11 На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр,  занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна  11. Например, 105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14); 9163627 (9 + 6 + 6 + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6 ;28 — 6 = 22; 22 : 11 = 2) Признак делимости чисел на 25 На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули  или составляют число, кратное 25.  Например,2 300; 650 ,1 475 и т.д.  Признак делимости на 7 Чтобы узнать делится ли натуральное число a на 7,надо разбить его  запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа  может содержать две или одну цифру) и взять с нечетными номерами со  знаком минус а с чётными номерами со знаком плюс.Если значение  получисшегося выражения делится на 7,то и заданное число делится на 7 Например ,число 459348965866 (т.к. 459­348+965­866=210) и т.д Пример 1: Определить делится ли число 12233344445550 на 2,3,4,5,7,9,11 Решение: Для того чтобы это определить мы воспользуемся приведенными  признаками делимости Проверим делится ли число на 2 : рассмотрим последнюю цифру числа­ это 0.  Согласно признаку делимости данное число будет делиться на 2 без остатка Выясним делится ли число на 5: рассмотрим последнюю цифру числа­ это 0.  Согласно признаку делимости данное число будет делиться на 5 без остатка Чтобы проверить делится ли число на 3 и 9 найдем сумму цифр данного  числа: 1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5=45 Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на 3 и 9 4+5=9, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на 3 и 9 без остатка Выясним делится ли число на 4 : рассмотрим последнюю цифру числа­ это 0.  Согласно признаку делимости на 4 нам это не подходит, рассмотрим число,  которым оканчивается искомое­ это число 50, оно так же не делится на 4,  значит не первое ни второе условие, при котором можно будет свидетельствовать, что число кратно 4 не выполняется, значит наше число не  делится на 4 без остатка. Чтобы проверить делится ли число на 11  найдем сумму цифр, стоящих на  четных и нечетных местах в нашем числе. сначала определим их 12233344445550 На нечетных местах стоят цифры:1,2,3,4,4,5,5.Найдем их сумму  1+2+3+4+4+5+5=24 На четных местах стоят цифры: 2,3,3,4,4,5,0. Найдем их сумму  2+3+3+4+4+5+0=21 Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие:  найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах: 24­21=3, полученная разность 11 не кратна, значит не одно из условий  делимости на 11 не выполняется, значит число на 11 делится без остатка не  будет. Выясним будет ли число делиться на 7: для этого а надо разбить его  запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа  может содержать две или одну цифру)  12  233 344 445 550 и взять с нечетными номерами со знаком минус ,а с чётными номерами  со знаком плюс. 12­233+344­445+550 =228 значение получисшегося выражения не  делится на 7 значит  и заданное число не делится на 7 Пример 2: Определить делится ли число 9234555 на 2,3,4,5,7,9,11 Решение: Для того чтобы это определить мы воспользуемся приведенными  признаками делимости Для того чтобы определить делится ли число на 2  рассмотрим последнюю  цифру числа­ это 5. Данное число не четное, значит согласно признаку  делимости данное число не будет делиться на 2 без остатка Выясним делится ли число на 5: рассмотрим последнюю цифру числа­ это  цифра 5. Согласно признаку делимости данное число будет делиться на 5 без  остатка Чтобы проверить делится ли число на 3 и 9  найдем сумму цифр данного  числа: 9+2+3+4+5+5+5=33 Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на 3 и 9 3+3=6, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на 3 без остатка, но не делится на 9 Выясним делится ли число на 4 : рассмотрим две последние цифры числа­ это  55, а не два 0, значит по признаку делимости на 4 нам это не подходит,  рассмотрим число, которым оканчивается искомое­ это число 55, оно так же  не делится на 4, значит не первое ни второе условие, при котором можно  будет свидетельствовать, что число кратно 4 не выполняется, значит наше  число не делится на 4 без остатка. Чтобы проверить делится ли число на 11  найдем сумму цифр, стоящих на  четных и нечетных местах в нашем числе. сначала определим их 9234555 На нечетных местах стоят цифры:9,3, 5,5. Найдем их сумму 9+3+5+5=22 На четных местах стоят цифры: 2,4, 5. Найдем их сумму 5+4+2=11 Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие:  найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах: 22­11=11, полученная разность кратна 11, значит одно из условий делимости  на 11 выполняется, значит число на 11 делится без остатка. Выясним будет ли число делиться на 7: для этого а надо разбить его запись  справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может  содержать две или одну цифру)  9   234   555 и взять с нечетными номерами со знаком минус ,а с чётными номерами  со знаком плюс. 9 ­234+555=330 значение получисшегося выражения не делится на 7  значит  и заданное число не делится на 7 Пример 3: Определить делится ли число 334552 на 2,3,4,5 ,9,11 Решение: Для того чтобы это определить мы воспользуемся приведенными  признаками делимости Чтобы определить делится ли число на 2 обратим внимание, что число  четное ,значит на 2 оно будет делиться. Так как число оканчивается на цифру  2 ,значит ни на 5 ни на 10 оно делится не будет Найдем сумму цифр данного числа: 3+3+4+5+5+2=22=4 теперь нетрудно  опираясь на признаки делимости убедиться, что число не делится на 3 без  остатка и  не делится на 9 Выясним делится ли число на 4 : рассмотрим две последние цифры числа­ это  52, оно делится на 4, значит, что число кратно 4 . Проверим делится ли число на 11   Найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в числе  334552 На нечетных местах стоят цифры:3, 4,5. Найдем их сумму 3+4+5=12 На четных местах стоят цифры: 3,5, 2. Найдем их сумму 3+5+2=10 Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие:  найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах: 12­10=2, полученная разность не кратна 11, значит ни одно из условий  делимости на 11 выполняется, значит число на 11 не делится без остатка.