Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , то есть (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточное условие существования экстремума:
Пусть стационарная точка функции . Обозначим , , и составим дискриминант . Тогда:
если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или );
если , то в точке экстремума нет;
если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Тема: Экстремум функций двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значения.
Цель занятия:
закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;
научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и
минимум с использованием производных высших порядков;
вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений
функции;
решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции;
развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить
логически и по аналогии.
Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные, по
дидактической цели – познавательные.
Ход занятия.
1. Организационная часть. Студенты записывают тему занятия.
2. Актуализация опорных знаний. В начале занятия проводится небольшая по
времени (1015 минут) фронтальная работа,
актуализировать базовые знания студента.
которая позволяет
3. Работа по повторению:
критические точки;
стационарные точки;
экстремумы функции.4. Выполнение самостоятельной работы:2. Основная часть. Изучение новой темы.
Экстремум функции двух переменных
Функция
имеет максимум (минимум) в точке
, если значениефункции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке
некоторой
(соответственно
окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка
которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
, принадлежащих этой
, в
окрестности
есть
то
точки
) для всех точек
,
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция
, то ее частные производные первого порядка в
достигает экстремума в точке
этой точке равны нулю, то есть:
,
.
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными
точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и
которые лежат внутри области определения функции, называются критическими
точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточное условие существования экстремума:
Пусть
стационарная точка функции
. Обозначим
,
если
,
, то функция имеет в точке
и составим дискриминант
. Тогда:
экстремум, а именно максимум, при
(или
) и минимум, при
(или
);
если
если
, то в точке
, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
экстремума нет;
Рассмотрим пример решения задачи:Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется
при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных
решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.
ПРИМЕР.
Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2.
Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром
Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ 3х² 45х + 1 на [4; 6]
без построения графика.
Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и
решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы.Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль
пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько
земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица
Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным
ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.
Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной
страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы
должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.
Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из
экономии бумаги?Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера
преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с
разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже
обладают.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z
3
x
2
3
xy
15
x
12
y
.
Решение
Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума
функции. В результате чего получим стационарные точки.
Находим частные производные и составляем систему уравнений
z
x
'
yxz
,(
x
'
,(
yx
z
y
)
)
,0
;0
3
x
2
3
y
2
,15
;
z
y
6
xy
12
2
x
xy
,052
y
;02
2
x
2
5
,0
y
2
y
;
x
4
2
y
2
y
5
,0
x
2
y
;
4
4
y
2
y
0
,
5
2
y
x
2
y
.
Решим отдельно уравнение
4
4
y
y
2
5
y
2
0
. Дробь равна нулю, когда ее числитель
равен нулю, т.е.
4
4
y
2
5
y
0
. Пусть
y 2
t
, тогда исходное уравнение примет вид
квадратного трехчлена
2
t
5
t
4
0
. Используя теорему, обратную теорему Виета,
получаем корни уравнения
.
t
1
t
,4 2
1
Таким образом получаем:
2
y
1
2
y
2
,4
;1
подставляя полученные значения в
,2
,1
,2
;1
22
y
11
y
y
31
y
42
систему получаем четыре стационарные точки:
P
1
);2,1(
P
2
);1,2(
P
3
);2,1(
P
4
).1,2(
Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции
двух переменных, составляем определитель
и находим точки максимума и
J
минимума.
Найдем производные второго порядка:A
z
2
2
x
Bx
,6
2
z
yx
,6
Cy
z
2
2
y
6
x
и составим определитель
(
xJ
,
y
0
)
0
''
z
xx
''
z
yx
(
(
x
x
0
0
,
,
)
zy
0
)
zy
0
''
xy
''
yy
(
(
x
0
x
0
,
,
y
0
y
0
)
)
AC
2B
для каждой стационарной точки.
1) Для точки
P
1
:)2,1(
A
J
AC
B
2
2
z
2
x
,616
36
P
1
144
0
B
2
z
yx
26
P
1
,12
C
z
2
2
y
P
1
,616
Значит, в точке
1P
экстремума нет.
2)
P
2
:)1,2(
zA
''
xx
)1,2(
26
,12
zB
''
xy
)1,2(
,616
zC
''
yy
)1,2(
26
;12
J
AC
2
B
144
36
108
,0
''
xxzA
)1,2(
12,12
0
.
В точке
2P
, согласно достаточному условию существования экстремума, функция
имеет минимум.
Минимум этот равен
значению функции при
x
,2
y
:1
z
min
)1,2(
68
30
12
28
.
3)
P
3
:)2,1(
zA
)2,1(
''
xx
,6
zB
''
xy
,1(
)2
,12
zC
''
yy
)2,1(
;6J
AC
2
B
36
144
,108
108
0
.
Экстремума в точке
нет.
P
,1(3
)2
4)
P
4
:)1,2(
zA
''
xx
)1,2(
26
,12
zB
''
xy
)1,2(
16
,6
yyzC
)1,2(''
26
;12
J
AC
2
B
144
36
108
,0
''
xxzA
)1,2(
.
,12
12
0
В точке
4P
функция имеет максимум:
z
)1,2(max
68
30
12
28
.
V этап: Выполнение самостоятельной работы. (Работы сдаются на проверку
учителю)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
I в.
)(
xf
3
x
2
3
2
x
1
на отрезке
4;1
.
II в.
)(xf
= 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2].
По окончании выполнения самостоятельной работы студенты готовятся к
ответам на следующие вопросы.
1. Определение экстремума функции двух переменных.2. Необходимое условии экстремума.
3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.