Экстремум функции

Тема: Экстремум функций двух переменных.            Наибольшее и наименьшее значения. Цель занятия:  закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;   научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и   минимум с использованием производных высших порядков; вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений  функции;  решать задачи на отыскание наибольших  и наименьших значений функции;  развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить  логически и по аналогии. Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные, по дидактической цели – познавательные. Ход занятия. 1. Организационная часть. Студенты записывают тему занятия.  2. Актуализация  опорных знаний. В начале занятия  проводится  небольшая  по времени   (10­15   минут)   фронтальная   работа, актуализировать базовые знания студента.   которая   позволяет 3. Работа по повторению:  ­критические точки; ­стационарные точки; ­экстремумы функции. 4. Выполнение самостоятельной работы: 2. Основная часть. Изучение новой темы.  Экстремум функции двух переменных Функция   имеет максимум   (минимум) в   точке  ,   если   значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке  некоторой (соответственно  окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка  которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.     ,   принадлежащих   этой , в окрестности есть  то   точки    )   для   всех   точек  ,   Необходимое условие   экстремума:   если   дифференцируемая   функция    , то ее частные производные первого порядка в достигает экстремума в точке  этой точке равны нулю, то есть:  ,  . Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками.   Стационарные   точки   и   точки,   в   которых   производные   не   существуют   и которые   лежат   внутри   области   определения   функции,   называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Достаточное условие существования экстремума: Пусть   стационарная   точка   функции  .   Обозначим  ,  если  ,  , то функция имеет в точке   и составим дискриминант  . Тогда:  экстремум, а именно максимум, при    (или  ) и минимум, при   (или  ); если  если  , то в точке  , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).  экстремума нет; Рассмотрим пример решения задачи: Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при   решении   многих   практических   задач   на   нахождение   наилучших,   оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию. ПРИМЕР.  Рекламный   щит   имеет   форму   прямоугольника   S=9   м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ ­ 3х² ­ 45х + 1 на  [­4; 6]  без построения графика. Во   время   самостоятельной   работы   сильные   студенты   вызываются   к   доске   и решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы. Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью. Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы? Печатный   текст   (вместе   с   промежутками   между   строками)   одной страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.  Вопрос:   каковы   самые   выгодные   размеры   страницы,   исходя   только   из экономии бумаги? Следующим   этапом   изучения   темы   является   подробное   решение   примера преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже обладают. Пример. Исследовать на экстремум функцию z 3  x 2 3 xy  15 x  12 y . Решение Проверим   выполнение   необходимого   условия   существования   экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки. Находим частные производные и составляем систему уравнений     z  x     ' yxz ,( x ' ,( yx z y ) )   ,0 ;0  3 x 2  3 y 2  ,15 ;  z  y  6 xy  12    2 x xy  ,052   y ;02       2 x 2  5 ,0  y 2 y ; x         4 2 y  2 y  5 ,0 x  2 y ;        4  4 y 2 y  0 , 5 2  y x  2 y . Решим отдельно уравнение  4  4 y y 2 5 y  2  0 . Дробь равна нулю, когда ее числитель равен   нулю,  т.е.   4  4 y  2 5 y  0 .  Пусть   y 2 t ,  тогда   исходное  уравнение   примет   вид квадратного   трехчлена   2 t  5 t  4 0 .   Используя   теорему,   обратную   теорему   Виета, получаем корни уравнения  . t 1  t ,4 2  1 Таким образом получаем:        2 y 1 2 y 2  ,4  ;1         подставляя полученные значения в  ,2  ,1  ,2  ;1 22 y 11 y y 31 y 42 систему получаем четыре стационарные точки: P 1 );2,1( P 2 );1,2( P 3  );2,1(  P 4  ).1,2(  Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух   переменных,   составляем   определитель     и   находим   точки   максимума   и J минимума. Найдем производные второго порядка: A  z 2 2   x  Bx ,6  2  z  yx  ,6 Cy  z 2 2   y  6 x  и составим определитель ( xJ , y 0 ) 0 '' z xx '' z yx ( ( x x 0 0 , , ) zy 0 ) zy 0 '' xy '' yy ( ( x 0 x 0 , , y 0 y 0 ) )  AC  2B  для каждой стационарной точки. 1) Для точки P 1 :)2,1( A J  AC  B 2 2 z 2   x      ,616    36 P 1 144  0 B     2  z  yx    26 P 1 ,12 C     z 2 2   y    P 1 ,616  Значит, в точке  1P  экстремума нет. 2)  P 2 :)1,2(  zA '' xx )1,2(  26 ,12  zB '' xy )1,2(  ,616  zC '' yy )1,2(  26 ;12 J  AC  2 B  144  36  108  ,0 '' xxzA  )1,2(  12,12  0 . В   точке   2P ,   согласно   достаточному   условию   существования   экстремума,   функция имеет   минимум.   Минимум   этот   равен   значению   функции   при x  ,2 y  :1 z min )1,2(  68 30  12 28 . 3)  P 3  :)2,1(  zA  )2,1(  '' xx ,6  zB '' xy  ,1(  )2 ,12  zC '' yy  )2,1(  ;6 J  AC  2 B  36 144  ,108  108  0 . Экстремума в точке  нет. P ,1(3  )2 4) P 4  :)1,2(   zA '' xx  )1,2(  26 ,12  zB '' xy  )1,2(  16 ,6  yyzC )1,2(''  26  ;12 J  AC  2 B  144  36  108  ,0 '' xxzA  )1,2(  . ,12  12  0 В точке  4P  функция имеет максимум:  z )1,2(max   68  30  12 28 . V этап: Выполнение самостоятельной работы.  (Работы сдаются на проверку  учителю)  Найти наибольшее и наименьшее значения функции: I в.  )( xf  3 x 2  3 2 x  1  на отрезке  4;1 . II в.  )(xf  = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2]. По   окончании   выполнения   самостоятельной   работы   студенты   готовятся   к ответам на следующие вопросы. 1. Определение экстремума функции двух переменных. 2. Необходимое условии экстремума. 3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.