Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Примеры комбинаторных задач

У р о к  70: Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Примеры комбинаторных задач.

Класс: 9б.

Дата: 02.03.2017г.

Цели: ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без учета порядка; формировать умения решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решить старинную задачу VIII века:

Волк, коза и капуста

Некий  человек  должен  был  перевезти  в  лодке  через  реку  волка, козу  и  капусту.  В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?

При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания, оценивают варианты, получают следующее решение:

III. Объяснение нового материала.

1. В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).

С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

2. П р и м е р ы   к о м б и н а т о р н ы х   з а д а ч.

Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том, чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем перебирать оставшиеся, анализируем и т. д.

Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления комбинаций с помощью графов – полных  либо графа-дерева.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором).

№ 715.

В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:

Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.

З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Р е ш е н и е

О т в е т: 12 вариантов.

№ 716.

В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А.

Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся:

А: АВ, АС, АD;

В: ВА, ВС, ВD;

С: СА, СВ, СD;

D: DA, DB, DC.

Итого – 12 вариантов.

№. 718, № 720. При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на первом месте.

№ 717. Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.

Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов формирования одной половины.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какие задачи называются комбинаторными?

– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.

– В чем сущность способа полного перебора вариантов?

– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?

Домашнее задание: № 714, № 719, № 721, № 729.

Скачано с www.znanio.ru