Факультативное занятие "Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра"

Уравнения содержащие параметр. Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости  от параметра. Цель:  Формировать   умение   распознавать   положение   параболы   в зависимости от ее коэффициентов. I. Объяснение нового материала. Ход урока Решение   многих   задач   с   параметрами,   предлагаемых   на   экзаменах,   в частности,   на   ЕГЭ   по   математике,   требует   умения   правильно формулировать   необходимые   и   достаточные   условия,   соответствующие различным   случаям   расположения   корней   квадратного   трёхчлена   на числовой оси. Рассмотрим пример: найдите все значения параметра  с, при которых оба корня   квадратного   уравнения   х2+4сх+(1−2с+4с2)=0   различны   и меньше, чем – 1. 1 2 ). Теперь нужно Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >  составить   систему   уравнений   когда   х1>−1 и   х2>−1 .   Ее   будет достаточно сложно решить. Для решения заданий такого типа существует специальный метод.   Сначала   рассмотрим   квадратичную   функцию  f(x)   =   ax2+bx+c,a≠0. Запишем ее в виде  f(x)=a(x+ b 2a) Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее график.   При   решении   заданий   с   параметрами   эти   характеристики применяются в другом контексте. + 4ac−b2 4a 2 .   1. Прямая   x=−b 2a   – ось параболы, которая является одновременно осью   ее   симметрии.   Вершиной   параболы   является   точка   ( −b 2a ;4ac−b2 4a ). 2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз. 3. Дискриминант  D=b2−4ac  показывает, пересекается ли парабола с осью абсцисс. Объединим вышесказанное в таблице: Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта. а > 0 а < 0 D > 0 D = 0 D < 0 Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда и только тогда, когда  { D>0, a>0, x00  или   { D>0, a<0, x00, системы можно заменить формулой  a⋅f(A)<0. f(A)<0    или   { a<0, f(A)>0.    Эти две Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда и только тогда, когда  { D>0, a>0, x0>A, f(A)>0   или   { D>0, a<0, x0>A, f(A)<0. Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 < a<0, А<х0<В, f(A)<0, f(В)<0. a>0, А<х0<В, f(A)>0, f(В)>0 В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0, > х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда  { a>0, > х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда  { a>0,   или  { D>0, f(В)>0  или   { a<0,  или   { a<0, f(A)>0, f(В)<0 f(A)>0, f(В)<0. f(A)<0, f(В)>0. f(A)<0, Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1 Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1 Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка  есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда  { a>0, f(A)<0, f(В)<0  или  { a<0, f(A)>0, f(В)>0. [А;В] , то Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба корня   квадратного   уравнения   х2+4сх+(1−2с+4с2)=0   различны   и меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением 1.) Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе кратных) уравнения (1 +  k)х2  – 3kх + 4k  = 0 больше 1? (Для решения необходимо воспользоваться утверждением 3.) II.   Закрепление   пройденного   материала.   Практическая   работа   в группах. 1 группа: 1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2 1 2 х + (k – 3)(k + 5) = 0? –  2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0 лежат в интервале (0; 3)? 2 группа: 1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2 +  х + (k – 1)(k + 7) = 0? 2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 + 2х + а = 0 лежат между – 1 и 1? 3 группа: 1. Найдите   множество   значений   параметра  k,   при   число   2   находится между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3. 2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а + 1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 < x < 3? III. Домашняя работа. 1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а + 2)х + 3(а + 6) = 0 положительны? 2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а – 4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)? 3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х – 3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?