Идеальный газ. Основное уравнение МКТ.
Как уже было сказано ранее, начиная с этого урока, мы приступаем к изучению
только газов. На прошлом уроке мы дали представление о способах количественного
описания некой порции вещества. Сейчас же мы начнём описывать газ со стороны его
качественных характеристик (микро и макропараметров). Мы сформулируем понятие об
идеальном газе, опишем его параметры и введём соотношение, связывающее эти
параметры (основное уравнение МКТ).
Основным его называют потому, что оно было получено первым. Но конечно не в
этом все дело, а дело все в том, что оно связывает между собой главные параметры,
которые характеризуют газообразное состояние вещества. Обращаю ваше внимание, что
для того чтобы вывести основное уравнение молекулярнокинетической теории
потребовалась достаточно большая, кропотливая работа. В первую очередь эта работа
была связанна с тем, чтобы ввести модель газа. Эту модель называют идеальным газом.
Дело все в том, что в природе газов очень и очень много и каждый из них обладает своими
определенными характеристиками, особенностями. Но для того, чтобы создать
количественную теорию газообразного состояния, необходимо было выбрать отдельную
модель. Вот эту модель и называют идеальным газом.
Над проблемой описания модели работали многие учёные, начиная с
восемнадцатого века. (Слайд 2) Первым такую модель предложил наш российский ученый
Михаил Ломоносов, очень большой вклад в работу по созданию такой модели внес
Джеймс Джоуль, однако основная работа была проведена немецким ученым Рудольфом
Клаузиусом. Именно он в 1857 году и ввел понятие модели идеального газа. Благодаря
этому понятию, благодаря модели идеального газа Клаузиусу удалось установить
основные соотношения и обосновать характеристики различных состояний вещества.
Так что же такое идеальный газ? Идеальный газ – это модель, которая представляет
собой следующее: (Слайд 3) молекулы идеально газа очень маленькие, упругие шарики,
обычно говорят исчезающего размера. Движутся эти частицы беспорядочно и хаотично, а
вот взаимодействие таких частиц происходит только во время соударений. А вот
соударения должны быть упругими.Вот после всего, что мы сказали, понятно, что такого газа в природе нет. Но нужно
сказать, что напоминает такой газ разреженный водород. Именно он достаточно хорошо
подчиняется законам идеального газа. (Слайд 4)
Идеальный газ – модель газа, в рамках которого молекулы и атомы газа
представлены в виде очень маленьких (исчезающих размеров) упругих шариков, которые
не взаимодействуют друг с другом (без непосредственного контакта), а только
сталкиваются.
После того, как мы с вами сказали, что такое идеальный газ мы с вами перейдем к
основному уравнению МКТ.
Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (Слайд 5). Определим
давление p этого газа на поршень.
По определению давление – величина, равная отношению силы (F), действующей
перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности (S).
Давайте вычислим силу (F), с которой молекулы действуют на поршень:
Ну а что такое молекулЫ? Это совокупность отдельных молекул. Итак наш первый
шаг это расчет силы удара одной молекулы о стенку сосуда.
Пусть молекула идеального газа (Слайд 6) массой
движется в плоскости XOY со
скоростью
и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью .
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны
поршня во время удара, равна:
,
Где a – ускорение молекулы при ударе;
– изменение скорости движения молекулы при ударе;
– продолжительность удара.
(Слайд 7) Проекция скорости на ось OY не изменяется, поэтому всё изменение
скорости
равно изменению скорости вдоль оси X:
Так как:
и
То:Согласно третьему закону Ньютона, сила
, с которой молекула действует на
поршень, равна по модулю силе
, с которой поршень действует на молекулу (сила
действия равна силе противодействия). Следовательно:
Итак, с первой подзадачей мы справились. Мы нашли силу, с которой одна
молекула действует на поршень. Теперь же учтем, что молекул много. И давайте
рассчитаем какое же число молекул
N ударится о поршень за интервал
.
Итак, смотрим на рисунок. (Слайд 8) Очевидно, что за интервал времени
до
поршня успеют долететь только те молекулы, которые движутся в направлении поршня и
удалены от него на расстояние
. То есть фактически половина числа молекул,
заключённых в цилиндре объёмом
. Еще раз для понимания давайте
обсудим, как же молекулы ударяются о поршень. Совершенно очевидно, что о поршень
будут биться одновременно только половина молекул, та половина, скорости которых
будут направлены в сторону поршня. В следствии беспорядочного хаотического
движения, другая половина будет иметь скорость, направленную в какую либо другую
сторону. Следовательно, число молекул, ударившихся о поршень за интервал
, равно:
– общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:
,
Ну что же, мы справились и со второй частью поставленной задачи. И теперь мы
знаем силу удара одной молекулы и сколько молекул ударяется о поршень за время
.
Соединяем первую часть со второй. Давайте найдем общую силу ударов молекул о
поршень.
(Слайд 9) Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее
число ударов:
Давайте вспомним, что мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула
имеет проекцию скорости
. Так как все молекулы двигаются хаотично, то
направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для
средней квадратичной скорости,
одинаковые (
). Следовательно,заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:
Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:
Итак, остался последний шаг, мы уже знаем силу, осталось найти давление
(макропараметр). Еще раз напомню, что давление, это отношение силы, с которой
молекулы давят на поршень к площади самого поршня:
и в итоге мы получаем основное уравнение МКТ.
(Слайд 10)
– основное уравнение МКТ идеального газа, в этой формуле
Макропараметры
;
.
микропараметры
Вот почему это уравнение так важно: это мостик между макромиром и
микромиром, оно связывает параметры газа и характеристики молекул. Измерив
всего лишь давление и концентрацию мы можем нырнуть в глубь и посмотреть на
отдельные молекулы.
Давайте получим еще одно выражение для основного уравнения МКТ. (Слайд
11) которое связывает давление не с массой и скоростью, а с их комбинацией:
средней кинетической энергией одной молекулы.
Учтем, что среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул
газа можно рассчитать по формуле:
Посмотрите, в основное уравнение МКТ входит произведение m0V2, то есть
удвоенное значение кинетической энергии. Следовательно, основное уравнение МКТ
будет выглядеть так:
– давление идеального газа равно двум третям средней кинетической
энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема
Обратите внимание, мы с вами получили еще один микропараметр – кинетическую
энергию поступательного движения молекулы.Возможно сделать еще одно преобразование (Слайд 12):
–
плотность газа
На данном уроке мы вывели основное уравнение МКТ. Обращаться к данному
уравнению мы будем нечасто, так как удобнее работать с отдельными макропараметрами
(проще отдельно измерить давление, объём, температуру, чем замерять скорость и массу
конкретной молекулы). Тем не менее, именно это уравнение назвали основным, потому
что оно даёт связь между макромиром и микромиром.
Домашнее задание: §34, §35, §39, вопросы к параграфам, упр.30