Исследовательская работа "Феномен первой цифры"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Лицей № 1" Кафедра точных наук Феномен первой цифры (исследовательская работа) Выполнил: ученик 5а класса Руководитель: учитель математики Бабенко Ольга Евгеньевна Кокурина Любовь Михайловна,  Представлена 18.04.2017 Оценка  нормоконтроля: Оценка результатов работы  руководителем: Оценка публичной защиты работы: Итоговая оценка: Отв. преподаватель на кафедре или Оценка Подпись Оценка подпись Оценка подпись Оценка подпись зав. кафедрой: 1 Братск 2017 СОДЕРЖАНИЕ Введение.......................................................................................................................3 Глава 1. Феномен первой цифры................................................................................5 1.1.  История открытия закона первой цифры или закона Бенфорда.....................5 1.2. Закон первой цифры или закон Бенфорда.........................................................5 Глава 2. Закон Бенфорда в окружающем нас мире.........................................................8 2.1 Закон Бенфорда в нумерации домов 7­го и 3­го мкр. г. Братска.....................8 2.2 Закон Бенфорда в длинах главных рек России и их притоков........................10 2.3 Закон Бенфорда в таблице Менделеева............................................................11 2.4 Закон Бенфорда в численности стран мира......................................................12 2.5 Закон Бенфорда в площадях субъектов Российской Федерации....................13 Заключение.................................................................................................................15 Приложение А.....................................................................................................................1 Перечень улиц 7 мкр. г. Братска.......................................................................................1 Приложение В.....................................................................................................................5 Список главных рек России...............................................................................................5 Приложение Г.....................................................................................................................6  Таблица Менделеева.........................................................................................................6 ..............................................................................................................................................7 Приложение Д.....................................................................................................................7 Список стран по населению...............................................................................................7 Приложение Е...................................................................................................................12 Площадь субъектов Российской Федерации..................................................................12 2 Введение 3 В   сентябре   на   одном   из   уроков   математики   наш   педагог   Кокурина   Любовь Михайловна   предложила   всем   ребятам   из   нашего   класса   выбрать   для   себя   тему исследовательской работы по математике. Чтобы заинтересовать и вдохновить нас Любовь Михайловна начала рассказывать нам истории о цифрах, почему одни из них считаются «счастливыми», а другие нет, почему большинство людей, которых просят наугад назвать любое число, называют чаще нечётное число, чем чётное и.т.д. Мне стало очень интересно узнать о цифрах больше. Дома я прочла множество интересных фактов о натуральных числах и решила более подробно изучить единицу. После прочтения нескольких интернет статей   я   обнаружила   очень   интересный   феномен,   который   называется   законом   первой цифры или иначе законом Бенфорда. Он и стал предметом моего изучения.  Изучение   курса   математики   5­го   класса   сопровождается   такими   понятиями   как натуральные числа и натуральный ряд. Тема моего исследования является актуальной с позиции изучения натуральных чисел на бытовом уровне, в окружающем нас мире. Моя исследовательская работа поможет мне овладеть вышеперечисленными понятиями. Предмет изучения ­ закон первой цифры или закон Бенфорда. Гипотеза: Повторяемость цифры из натурального ряда [1, …, 9] на первом месте в дву­ и более значном числе тем меньше, чем больше эта цифра. Цель: найти подтверждение закона Бенфорда в окружающем нас мире. Задачи:  ­ Сформулировать закон Бенфорда (закон первой цифры); ­ Изучить литературу по данной проблематике; ­ Найти доказательства закона первой цифры в окружающем нас мире Во время работы предполагаю использование следующих методов исследования: 1. изучение научной литературы, для поиска информации о законе Бенфорда; 2. сбор информации из окружающего мира для доказательства закона; 3. анализ собранных данных; 4. сравнение результатов, построение таблиц и диаграмм 4 Глава 1. Феномен первой цифры 5 1.1.  История открытия закона первой цифры или закона Бенфорда В 1881 году американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что первые несколько страниц книг с логарифмическими таблицами потрепаны больше, чем следующие  за  ними,  в  то  время  как  последние  страницы  почти  совсем  новые.  Почему ученые   чаще   пользуются   первыми   страницами   таблиц   логарифмов,   чем   последними?   – подумал   Ньюкомб.   –   Потому   что   им   чаще   приходится   иметь   дело   с   числами, начинающимися с цифры «1», чем с цифры «2»; с цифрой «2» чаще, чем с цифрой «3» и т.д. Тогда,   астроном   предположил,   что   разброс   цифр   на   самом   деле   соответствует логарифмическому распределению: «1» используется в 30 % случаев, «2» – примерно 18% и так далее до «9», которая используется в 5 % случаев. В   1938   году   американский   физик   Ф.   Бенфорд   заново   открыл   феномен   первой цифры. Бенфорд  исследовал около  20 таблиц, среди которых были  данные  о площади поверхности 335 рек, молекулярном весе тысяч химических соединений и даже номера домов американских ученных. Проанализировав около 20 тысяч содержавшихся в таблицах чисел, Бенфорд установил удивительную закономерность. Казалось бы, все девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 равноправны, и повторяемость каждой из них в качестве первой цифры любого многозначного числа должна быть один раз из девяти. Но закон Бенфорда говорит нам   следующее   «повторяемость   цифры   в   качестве   первой   в   многозначном   числе   тем меньше,  чем   больше   эта   цифра».   Таким   образом,   у  цифры   «1»   повторяемость   гораздо больше, чем у цифры «9». Но ни Ньюкомб, ни Бенфорд не доказали справедливость закона. Это произошло только в 1995 г., и автор доказательства – Тед Хилл, математик из США.(1) 1.2. Закон первой цифры или закон Бенфорда Закон Бенфорда или закон первой цифры гласит, что в таблицах чисел, основанных на данных из реальной жизни, цифра «1» на первом месте встречается гораздо чаще, чем все остальные (табл. 1.1). Более того, чем больше цифра, тем реже она будет стоять в числе на первом месте.(2) 6 Таблица 1.1 – Повторя­ емость цифры на первом месте в   многозначных   числах, основан­ ных на источниках из реальной жизни Первая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Повторя­ емость 30,1% 17,6% 12,5% 9,7% 7,9% 6,7% 5,8% 5,1% 4,6% 7 Рис. 1.1 – Распределение Бенфорда Глава 2. Закон Бенфорда в окружающем нас мире 8 2.1 Закон Бенфорда в нумерации домов 7­го и 3­го мкр. г. Братска Я живу в 7 микрорайоне г. Братска, а лицей, в котором я учусь, расположен в 3 микрорайоне. Я решила изучить нумерацию домов, расположенных в этих микрорайонах. На трех улицах 7­го микрорайона (ул. Воинов­интернационалистов, ул. Мечтателей, ул. Олимпийская) расположено 60 домов. Номера домов, начинающиеся на «1», имеют 29 из них, 12 домов имеют номера, начинающиеся с «2». В 7­ом микрорайоне есть 8 домов с №3, 4 дома с №5, 4 дома с №7 и 3 с №9. График распределения первых цифр в нумерации домов 7 мкр. приведен на рис. 2.1.  Таблица 2.1 –   Повторяемость   цифр   на   первом   месте   в   нумерации   домов   7   мкр. г. Братска Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 5 7 9 29 12 8 4 4 3 9 Рис. 2.1 – Распределение первых цифр в нумерации домов 7 мкр. г. Братска На   пяти   улицах   3­го   мкр.   (ул.   Макаренко,   ул.   Наймушина,   ул.   Пирогова, ул. Погодаева, ул. Солнечная) расположено 39 домов. Номера домов, начинающиеся на «1», имеют 18 из них, 5 домов имеют номера, начинающиеся с «2». Распределение цифр в нумерации домов 3 мкр. приведены в табл. 2.2 и на рис. 2.2. Перечень   всех   улиц   и   домов   г.   Братска   можно   посмотреть   на   сайте http://www.antonenkov.com (3) (см. Приложения А, Б). Конечно,   количество   обработанных   мною   данных   слишком   мало,   чтобы распределение первых цифр в нумерации домов приблизилось к распределению Бенфорда, но тот факт, что единица встречается в нумерации домов чаще других цифр, очевиден. Таблица 2.2 –   Повторяемость   цифр   на   первом   месте   в   нумерации   домов   3   мкр. г. Братска Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 5 2 4 3 2 4 1 2 10 Рис. 2.2 – Распределение первых цифр в нумерации домов 3 мкр. г. Братска 2.2 Закон Бенфорда в длинах главных рек России и их притоков На информационном сайте о реках России «Все реки России» (http://vsereki.ru) я нашла сравнительную таблицу главных рек Росси и проанализировала их длину. Оказалось, что «1» встречается первой в длинных рек в 33 случаях из 48, а «2» в 9 случаях (см. табл. 2.3, рис. 2.3, Приложение В). (4) Таблица 2.3 – Повторяемость цифр на первом месте в длинах главных рек России Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 4 7 33 9 3 2 1 11 Рис. 2.3 – Распределение первых цифр в длинах главных рек России 2.3 Закон Бенфорда в таблице Менделеева Конечно же, я еще не изучаю химию, но на форзаце моего дневника напечатана таблица   Менделеева,   я   изучила   атомные   массы   основных   химических   элементов. Результаты приведены в таблице 2.4 и на рис. 2.4 (см. Приложение Г). Таблица 2.4 – Повторяемость цифр на первом месте в атомных массах основных химических элементов Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 17 5 4 6 4 4 4 6 12 Рис. 2.4 – Распределение первых цифр в атомной массе основных химических элементов 2.4 Закон Бенфорда в численности стран мира В электронной энциклопедии Википедии я нашла список стран мира по численности населения (2). Из 246 стран большинство, а именно 66 стран, имеют численность населения, начинающуюся   на   «1».   Распределение   первых   цифр   в   численности   населения   стран показаны в табл. 3.5 и на рис. 3.5. Таблица 2.5 – Повторяемость цифр на первом месте в численности населения стран мира Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 66 43 32 22 26 17 12 15 13 13 Рис. 2.5 – Распределение первых цифр в численности населения стран мира 2.5 Закон Бенфорда в площадях субъектов Российской Федерации В электронной энциклопедии Википедии я нашла список субъектов РФ по площадям (2).   Из   87   субъектов   РФ   большинство,   а   именно   25   субъектов,   имеют   площадь, начинающуюся на «1». Распределение первых цифр в площадях субъектов РФ показаны в табл. 3.6 и на рис. 3.6. Таблица 2.6 – Повторяемость цифр на первом месте в площадях субъектов РФ Первая цифра Повторяемость, раз 1 2 3 4 5 6 25 13 11 10 5 6 Первая цифра Повторяемость, раз 7 8 9 10 5 2 14 Рис. 2.6 – Распределение первых цифр в площадях субъектов РФ Заключение 15 Перенося  закона  Бенфорда  в  реальную  жизнь его  можно  объяснить  так: в  мире маленьких вещей всегда больше, чем больших: маленьких водоемов больше чем больших, маленькие камни встречаются чаще, чем большие валуны, маленьких стран больше, чем больших и т.д. (5) Закон Бенфорда применим не к математическим абстракциям, а к предметам из реальной жизни, к тому, что растет в числе, размере, весе или цене. Проанализировав большое количество информации, я подтвердила свою гипотезу. Действительно,   самая   распространенная   цифра   человеческого   обихода   –   «1».   И   эта парадоксальная картина проявляется во всевозможных реальных случаях, от нумерации домов до количества населения, длины рек.(6) Список литературы 16 1. СЕКЕЙ Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М., Мир,  1990. Интернет ресурсы: 2. https://ru.wikipedia.org/wiki 3. http://www.antonenkov.com 4. http://vsereki.ru 5. http://dm­kalashnikov.livejournal.com/192826.htm 6. http://masterok.livejournal.com/2289185.htmll Официальные документы 7. Положение о курсовой работе учащихся МБОУ "Лицей № 1" 8. Положение о научно­практической конференции учащихся МБОУ "Лицей №1" Приложение А Перечень улиц 7 мкр. г. Братска Улица Воинов­интернационалистов: Воинов­интернационалистов 1 (жилой многоквартирный дом, 14 этажей) Воинов­интернационалистов 1а (нежилое здание, 2 этажа) Воинов­интернационалистов 3 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Воинов­интернационалистов 5 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Воинов­интернационалистов 5а (нежилое здание, 2 этажа) Воинов­интернационалистов 7 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Воинов­интернационалистов 9 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Воинов­интернационалистов 11 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Воинов­интернационалистов 13 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Воинов­интернационалистов 15 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Воинов­интернационалистов 17 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Улица Мечтателей: Мечтателей 1 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 1а строение 1 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 3 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Мечтателей 5 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 7 (жилой многоквартирный дом, 10 этажей) Мечтателей 7а (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 7 строение 1 (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 9 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 11 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 13 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 14 (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 14 строение 3 (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 15 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Мечтателей 15а (нежилое здание, 3 этажа) Мечтателей 15б (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 15 строение 1 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 15 строение 2 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 17 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Мечтателей 17а (нежилое здание, 1 этаж) Мечтателей 19 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 21 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 23 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) 2 Мечтателей 23а (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 25 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Мечтателей 27 (нежилое здание, 2 этажа) Мечтателей 29 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Мечтателей 29а (нежилое здание, 3 этажа) Мечтателей 31 (жилой многоквартирный дом, 6 этажей) Мечтателей 33 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Улица Олимпийская: Олимпийская 1 (жилой многоквартирный дом, 14 этажей) Олимпийская 3 (нежилое здание, 2 этажа) Олимпийская 5 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 7 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Олимпийская 9 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Олимпийская 11 (жилой многоквартирный дом, 14 этажей) Олимпийская 13 (нежилое здание, 2 этажа) Олимпийская 14 (нежилое здание, 7 этажей) Олимпийская 15 (нежилое здание, 2 этажа) Олимпийская 15а (нежилое здание, 2 этажа) Олимпийская 17 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 17а (нежилое здание, 1 этаж) Олимпийская 19 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 21 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 23 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 23 ст 1 (нежилое здание, 1 этаж, остановочный комплекс с продовольственным  магазином) Олимпийская 25 (нежилое здание, 4 этажа, школа №45) Олимпийская 27 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 29 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 33 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Олимпийская 33а (нежилое здание, 1 этаж, остановочный комплекс с продовольственным  магазином) Олимпийская 35 (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) 3 Приложение Б  Перечень улиц 3 мкр. г. Братска улица Макаренко: Макаренко 18 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Макаренко 20 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Макаренко 22 (нежилое здание, 2 этажа) Макаренко 24 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Макаренко 26 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) улица Наймушина: Наймушина 1 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Наймушина 3 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Наймушина 5 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Наймушина 5а (жилой многоквартирный дом, 9 этажей) Наймушина 7 (нежилое здание, 2 этажа) Наймушина 7а (нежилое здание, 1 этаж) Наймушина 7б (нежилое здание, 2 этажа) Наймушина 9 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Наймушина 11 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Наймушина 13 (нежилое здание, 3 этажа) Наймушина 13а (нежилое здание, 1 этаж) Наймушина 15 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) Наймушина 17 (жилой многоквартирный дом, 4 этажа) улица Пирогова: Пирогова 10 (жилой многоквартирный дом, 14 этажей) Пиргова 10 строение 1 (нежилое здание, 1 этаж) Пиргова 10 строение 2 (нежилое здание, 1 этаж) Пирогова 12 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Пирогова 14 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Пирогова 16 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Пирогова 18 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) улица Погодаева: Погодаева 2 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Погодаева 4 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Погодаева 4а (нежилое здание, 2 этажа) Погодаева 6 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Погодаева 6а (нежилое здание, 2 этажа) Погодаева 8 (нежилое здание, 3 этажа) Погодаева 10 (жилой многоквартирный дом, 4 этажей) Погодаева 12 (жилой многоквартирный дом, 4 этажей) Погодаева 14 (нежилое здание, 3 этажа) Погодаева 16 (жилой многоквартирный дом, 4 этажей) 4 Погодаева 18 (жилой многоквартирный дом, 4 этажей) улица Солнечная: Солнечная 3 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Солнечная 5 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Солнечная 7 (нежилое здание, 2 этажа) Солнечная 7 ст 1 (нежилое здание, 1 этаж) Солнечная 9 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) Солнечная 11 (жилой многоквартирный дом, 5 этажей) 5 Приложение В Список главных рек России Номер  по  порядку Название  реки Длина, км     Номер  по  порядку Название реки Длина, км 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Лена Иртыш Обь Волга Енисей Нижняя Тунгуска Амур Вилюй Ишим Урал Алдан Оленёк Днепр Колыма Дон Подкаменная Тунгуска Витим Печора Кама Чулым Ангара Индигирка Кеть Тобол 4400 4248 3650 3531 3487 2989 2824 2650 2450 2422 2273 2270 2201 2129 1870 1865 1837 1809 1805 1799 1779 1726 1621 1591 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Марха 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Мая 44 45 46 47 48 Демьянка Анадырь Омолон Вычегда Десна Конда Омь Васюган Алазея Ока Амга Олёкма Белая Таз Вятка Зея Уда (Чуна) Северский Донец Западная Двина (Даугава) Бирюса (Она) Хопёр Нева 1590 1500 1462 1436 1430 1401 1314 1242 1203 1181 1160 1150 1150 1130 1130 1097 1091 1082 1053 1053 1020 1012 1010 74 6 Приложение Г  Таблица Менделеева 7 Приложение Д Список стран по населению 8 9 10 11 12 Приложение Е Площадь субъектов Российской Федерации 13