Исследовательская задача по учебному предмету "Геометрия" 7 класс

1. Исследовательская задача по геометрии. Задача: Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие   из   которых   не   лежат   на   одной   прямой?   Укажите   способ построения таких точек. 2. Описание исследовательской задачи. В   поставленной   исследовательской   задаче   учащиеся   открывают новые   для   себя   факты   и   закономерности,   известные   в   теории предмета   геометрии.   Особенность   заключается   в   том,   что   задача является комбинаторной геометрической задачей, решением которой можно заниматься в 7 классе. Задача не является стандартной, по содержанию   относится   к   олимпиадным   задачам.   По   сути   задача обобщает решение более простых практических задач. В ходе решения задачи получена формула числа прямых, которая будет использоваться при решении различных комбинаторных задач.   План   организации   исследовательской   деятельности 3. школьников по решению исследовательской задачи. 1. Изучение на уроке геометрии одной из первых аксиом о взаимном расположении точек и прямых на плоскости: «Через две любые точки плоскости проходит единственная прямая». 2.  Учащимся   предлагается   ряд   задач,   которые   составлены   с нарастанием   сложности.   Решение   каждой   задачи   поочередно обсуждается на доске только после самостоятельных построений и рассуждений учащихся в рабочих тетрадях на местах. 1) Сколько прямых проходит через различные пары из трех точек, не  лежащих на одной прямой? Ответ: 3. 2) Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6. 3) Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек,  никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10. 3.  Учащимся   предлагается   решить   исследовательскую   задачу: Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие из которых не лежат на одной прямой? Укажите способ построения таких точек. Решение: 3.1.   После   самостоятельных   рассуждений   и   попыток   учащиеся говорят   о   сложностях,   с   которыми   сталкиваются.   Одной   из возникших проблем может являться формулировка «из n точек». 3.2.   Учителю   необходимо   в   этом   случае   помочь   строить рассуждения: «Пусть А1, А2,…Аn – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно изобразить   их   на   окружности.   Попробуйте   провести   рассуждения сколько   прямых   проходит   относительно   одной   точки   А1  и оставшихся точек». 3.3. Учащиеся уже могут догадаться о том, что число оставшихся точек n – 1 и через каждую из них и точку А1 проходит одна прямая, тогда и число прямых равно n – 1. 3.4.   Если   учащиеся   догадываются,   что   точка   А1  была   выбрана произвольно, то рассуждения справедливы для любой из  n  точек, в противном случае на помощь снова приходит учитель с наводящим вопросом: «А как нами была выбрана точка А1? Могли бы мы взять любую из  n точек?» 3.5. Учащиеся могут сделать вывод: раз точек n, то и через каждую из них проходит n – 1 прямая, тогда число посчитанных прямых n (n­1). 3.6. Конечно этот ответ, который могут дать учащиеся не верен, что легко вместе с ними проверить при  n  = 3  получаем 3(3­1) = 6, в первой задаче практическим путем выяснили, что прямых всего 3. 3.7. Учащимся нужно дать возможность еще раз оценить решенные ранее   задачи   и   догадаться,   что   в   последней   (исследовательской) каждую прямую посчитали дважды. Поэтому число прямых, которые проходят через различные пары из n данных точек, равно n(n1) . 2   после   решения   исследовательской   задачи:   поскольку 3.8.   Вывод каждая   прямая   однозначно   задается   двумя   точками,   то   мы вычислили, сколько различных пар можно составить из n элементов, при  этом  не  имеет  значения,  какие  это  элементы.  Учитель  может сказать о том, что число таких пар называется числом сочетаний из n элементов по два и обозначается  Cn 2. При подготовке материала использовано учебное пособие Комбинаторные задачи по геометрии/ И. Смирнова, В. Смирнов. – М.: Чистые пруды, 2006. – 32 с. – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 5(11)).