Изучение показательной и логарифмической функций

Изучение показательной и логарифмической функций  Изучение темы «Показательная функция» целесообразно начать с пункта «Степень с  иррациональным показателем»: зафиксировать некоторое положительное число и  поставив в соответствие каждому числу число и получить числовую функцию , определенную на множествеQ. При а=1 функция постоянна при любом  рациональном . Далее следует построить график частного случая, например,  ­ что получившиеся точки можно соединить плавной кривой и считать ее графиком  . Уменьшать шаг и привести учащихся к мысли,  с определенным шагом ­ на каком­либо отрезке  функции. Следующим шагом будет построение графика функции учащихся в том, что она обладает теми же свойствами, что и и убеждение  . Учащиеся должны  заметить, что функция ­ возрастает, а ­ убывает. Нужно показать учащимся как определяется функция  приa>1 показав, что чем  ближе некоторые числа рассмотреть случай: и . к , тем меньше отличаются и . По аналогии  Рассмотреть свойства показательной функции (без доказательства или с доказательством –  в зависимости от подготовленности учащихся), начав с ее математического определения. Определение.Функция, заданная формулой , где и , называется  показательной функцией с основанием . Свойства: 1. 2. 3. При  функция возрастает наR, при ­ убывает. 4. При любых  : , , , , . Типовые задания: 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:  . 2. Найдите область значения функций:  . 3. Сравните числа:  4. Вычислите:  . . 5. Упростите выражение:  . 6. Определите, является ли функция возрастающей (убывающей):  . 7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на R: 8. Решите графически уравнение:  Решение показательных уравнений и неравенств. Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах  показательной функции, поэтому при решении упражнений по данной теме  систематически проверяются эти свойства. Для решения систем, содержащих одно или два показательных уравнения,  применяются методы подстановки и замены переменных. Изучение начинается с рассмотрения простейшего уравнения  , , имеем: если если ), то функция возрастает(убывает) на области определения и принимает  , то уравнение не имеет решений; в случае . Т. к. ( положительные значения. По теореме о корне имеет единственный корень. Для того чтобы  его найти, надо ­ является решением уравнения. представить в виде . Разобрать примеры:  ; . Решение заданий, аналогичных разобранным. Логарифмы и их свойства Необходимо вернуться к решению уравнения  единственный корень называют логарифмом числа , , и сказать, что при по основанию , который обозначают . То есть:  . Определение. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в  которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. Формулу  называют основным логарифмическим тождеством. Отработать понимание учащимися определения логарифма. Типовые задания: 1. Найдите  . 2. Найдите логарифм числа  по основанию . 3. Найдите  такое, что . При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств  показательной функции: 1. 2. 3. 4. 5. Для доказательства (3) и (4) пользуются основным логарифмическим тождеством , : 3:Логарифм произведения равен сумме логарифмов. и по определению логарифма . 4:Логарифм частного равен разности логарифмов. , следовательно по определению логарифма . 5:Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой  степени. . Значит по определению логарифма . Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений,  содержащих логарифмы. Далее целесообразно доказать формулу перехода от одного  основания логарифма к другому:  основному логарифмическому тождеству получим: . По правилу логарифмирования степени и  . Разделим обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле. Важно отметить, что логарифмы с основаниями 10 и eназывают десятичными  натуральными соответственно и обозначают . Отработать понимание основных свойств логарифмов. Типовые задания: 1. Известно, что  . Выразите через . 2. Найдите  , если . 3. Найдите значение выражения  . Логарифмическая функция Пусть a– положительное число, не равное 1. Определение.Функцию. Заданную формулой функцией с основаниемa. , называют логарифмической  Свойства. 1. 2. 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>0 и  убывает при 00 функция возрастает. Пусть числа и . Надо доказать, что ­ произвольные положительные  .  . Допустим противное Так как функция приa>1 взрастает, то . Но , т. е. ­ что противоречит условию. Для построения графика необходимо заметить: 1. Значение 0 логарифмическая функция принимает точке 1;  при любом , так как 2. Вследствие возрастания функции при  получаем, что при логарифмическая функция принимает положительные значения, а при отрицательные. ­  3. Если  при , то убывает на , поэтому при и Графики показательной и логарифмической функции, имеющих одинаковое основание.  Симметричны относительно прямоy=x.Отработать свойства, графики и определение  логарифмической функции. Типовые задания:  1. Найдите область определения функции  . 2. Сравните числа:  и . 3. Перечислите основные свойства и постройте график функции  , . Решение показательных и логарифмических уравнений При решении логарифмических уравнений появляется настоятельная необходимость  формирования понятий следствия и равносильности. Изучение пункта начинается с рассмотрения простейшего логарифмического уравнения . Логарифмическая функция возрастает (или убывает) не и принимает на  этом промежутке се действительные значения. По теореме о корне следует, что для  любогоbданное уравнение имеет одно и притом только одно решение. Из определения  логарифма следует, что является таким решением. Рассмотреть примеры и отработать решение логарифмических уравнений. Типовые задания: 1. Решите уравнение  2. Решите уравнение  3. Решите уравнение  . . . 4. .. 5. Аналогичные неравенства. Понятие об обратной функции. В ходе исследования различны функций, учащиеся неоднократно встречались с задачами: 1. Вычислить значение функции  по данному значению аргумента. 2. Найти значения аргумента, при которых функция  принимает данное значение . Разобрать пример: Пусть  которых . Надо решить уравнение . Чтобы найти значения аргумента , при  , т. е. уравнение . Решая его, находим, что при любом оно имеет, и при том только одно, решение . Важно отметить, что функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке  области определения, называют обратимой. Функция  функция обратима, а  ). не является обратимой (При : Пусть  точности одно значение каждому областью значения значение ­ произвольная обратимая функция. Для любого числа , такое, что имеется в  . Поставим в соответствие  , тогда получим новую функцию с областью определения . и  Пример: Докажем, что функция  , обратную к функцию . обратима, и выведем формулу, задающую  1. Уравнение  имеет единственное решение . 2. Функция  обратима и обратной к ней является функция . Свойство обратных функций:Графики функции симметричны относительно прямой . и обратной к ней функции Доказательство. Заметим, что по графику функции  можно найти  числовое значение обратной к ней функции в произвольной точке .  Для этого нужно взять точку с координатой на вертикальной оси. Из  определения обратной функции следует, что значение равно . Для того, чтобы изобразить график  надо отразить график относительно прямой . Если функция  является функция ­ обратная к функции . То функция . Поэтому говорят, что функции обратима и обратной к ней  взаимно обратные. Теорема(об обратной функции). Если функция , то она обратима. Обратная к функция является возрастающей. возрастает (или убывает)на промежутке , также  , определенная в области значений Доказательство. Положим для определенности, что функция  Обратимость функции доказать. Что функция ­ очевидное следствие из теоремы о корне. Поэтому остается  возрастает на множестве возрастающая.  . Пусть  ­ произвольные значения из , такие, что . По определению обратной функции , и пусть . Воспользовавшись условием. Что  ­ возрастающая функция находим, что допущение приводит к выводу Поэтому , т. е. из условия , т. е. следует, что . Это противоречит условию . Типовые задания: 1. Выведите формулу, задающую функцию  , обратную к заданной функции .  Укажите : . 2. Постройте график функции, обратной к  : .