Изучение показательной и логарифмической функций
Изучение темы «Показательная функция» целесообразно начать с пункта «Степень с
иррациональным показателем»: зафиксировать некоторое положительное число
и
поставив в соответствие каждому числу
число
и получить числовую функцию
, определенную на множествеQ. При а=1 функция постоянна при любом
рациональном .
Далее следует построить график частного случая, например,
что получившиеся точки можно соединить плавной кривой и считать ее графиком
. Уменьшать шаг и привести учащихся к мысли,
с определенным шагом
на какомлибо отрезке
функции. Следующим шагом будет построение графика функции
учащихся в том, что она обладает теми же свойствами, что и
и убеждение
. Учащиеся должны
заметить, что функция
возрастает, а
убывает.
Нужно показать учащимся как определяется функция
приa>1 показав, что чем
ближе некоторые числа
рассмотреть случай:
и
.
к
, тем меньше отличаются
и
. По аналогии
Рассмотреть свойства показательной функции (без доказательства или с доказательством –
в зависимости от подготовленности учащихся), начав с ее математического определения.
Определение.Функция, заданная формулой
, где
и
, называется
показательной функцией с основанием .
Свойства:
1.
2.
3. При
функция возрастает наR, при
убывает.
4. При любых
:
,
,
,
,
.
Типовые задания:
1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:
.2. Найдите область значения функций:
.
3. Сравните числа:
4. Вычислите:
.
.
5. Упростите выражение:
.
6. Определите, является ли функция возрастающей (убывающей):
.
7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на R:
8. Решите графически уравнение:
Решение показательных уравнений и неравенств.
Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах
показательной функции, поэтому при решении упражнений по данной теме
систематически проверяются эти свойства.
Для решения систем, содержащих одно или два показательных уравнения,
применяются методы подстановки и замены переменных.
Изучение начинается с рассмотрения простейшего уравнения
,
,
имеем: если
если
), то функция возрастает(убывает) на области определения и принимает
, то уравнение не имеет решений; в случае
. Т. к.
(
положительные значения. По теореме о корне имеет единственный корень. Для того чтобы
его найти, надо
является решением уравнения.
представить в виде
.
Разобрать примеры:
;
.
Решение заданий, аналогичных разобранным.
Логарифмы и их свойстваНеобходимо вернуться к решению уравнения
единственный корень называют логарифмом числа
,
,
и сказать, что при
по основанию , который обозначают
.
То есть:
.
Определение. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в
которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Формулу
называют основным логарифмическим тождеством.
Отработать понимание учащимися определения логарифма.
Типовые задания:
1. Найдите
.
2. Найдите логарифм числа
по основанию
.
3. Найдите
такое, что
.
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств
показательной функции:
1.
2.
3.
4.
5.
Для доказательства (3) и (4) пользуются основным логарифмическим тождеством
,
:
3:Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
и по определению логарифма
.
4:Логарифм частного равен разности логарифмов., следовательно по определению логарифма
.
5:Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой
степени.
. Значит по определению логарифма
.
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений,
содержащих логарифмы. Далее целесообразно доказать формулу перехода от одного
основания логарифма к другому:
основному логарифмическому тождеству получим:
. По правилу логарифмирования степени и
. Разделим обе части полученного равенства на
, приходим к нужной формуле.
Важно отметить, что логарифмы с основаниями 10 и eназывают десятичными
натуральными соответственно и обозначают
.
Отработать понимание основных свойств логарифмов.
Типовые задания:
1. Известно, что
. Выразите
через
.
2. Найдите
, если
.
3. Найдите значение выражения
.
Логарифмическая функция
Пусть a– положительное число, не равное 1.
Определение.Функцию. Заданную формулой
функцией с основаниемa.
, называют логарифмической
Свойства.
1.
2.
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>0 и
убывает при 0
0 функция возрастает. Пусть
числа и
. Надо доказать, что
произвольные положительные
.
. Допустим противное
Так как функция
приa>1 взрастает, то
. Но
, т. е.
что противоречит условию.
Для построения графика необходимо заметить:
1. Значение 0 логарифмическая функция принимает точке 1;
при любом
, так как
2. Вследствие возрастания функции при
получаем, что при
логарифмическая функция принимает положительные значения, а при
отрицательные.
3. Если
при
, то
убывает на
, поэтому
при
и
Графики показательной и логарифмической функции, имеющих одинаковое основание.
Симметричны относительно прямоy=x.Отработать свойства, графики и определение
логарифмической функции.
Типовые задания:
1. Найдите область определения функции
.
2. Сравните числа:
и
.
3. Перечислите основные свойства и постройте график функции
,
.
Решение показательных и логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений появляется настоятельная необходимость
формирования понятий следствия и равносильности.
Изучение пункта начинается с рассмотрения простейшего логарифмического уравнения
. Логарифмическая функция возрастает (или убывает) не
и принимает на
этом промежутке се действительные значения. По теореме о корне следует, что для
любогоbданное уравнение имеет одно и притом только одно решение. Из определения
логарифма следует, что
является таким решением.
Рассмотреть примеры и отработать решение логарифмических уравнений.
Типовые задания:1. Решите уравнение
2. Решите уравнение
3. Решите уравнение
.
.
.
4.
..
5. Аналогичные неравенства.
Понятие об обратной функции.
В ходе исследования различны функций, учащиеся неоднократно встречались с задачами:
1. Вычислить значение функции
по данному значению
аргумента.
2. Найти значения аргумента, при которых функция
принимает данное значение
.
Разобрать пример: Пусть
которых
. Надо решить уравнение
. Чтобы найти значения аргумента
, при
, т. е. уравнение
. Решая его,
находим, что при любом
оно имеет, и при том только одно, решение
.
Важно отметить, что функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке
области определения, называют обратимой. Функция
функция
обратима, а
).
не является обратимой (При
:
Пусть
точности одно значение
каждому
областью значения
значение
произвольная обратимая функция. Для любого числа
, такое, что
имеется в
. Поставим в соответствие
, тогда получим новую функцию с областью определения
.
и
Пример: Докажем, что функция
, обратную к
функцию
.
обратима, и выведем формулу, задающую
1. Уравнение
имеет единственное решение
.
2. Функция
обратима и обратной к ней является функция
.
Свойство обратных функций:Графики функции
симметричны относительно прямой
.
и обратной к ней функцииДоказательство. Заметим, что по графику функции можно найти
числовое значение обратной к ней функции
в произвольной точке
.
Для этого нужно взять точку с координатой
на вертикальной оси. Из
определения обратной функции следует, что значение
равно
.
Для того, чтобы изобразить график
надо отразить график
относительно прямой
.
Если функция
является функция
обратная к функции
. То функция
. Поэтому говорят, что функции
обратима и обратной к ней
взаимно обратные.
Теорема(об обратной функции). Если функция
, то она обратима. Обратная к функция
является возрастающей.
возрастает (или убывает)на промежутке
, также
, определенная в области значений
Доказательство. Положим для определенности, что функция
Обратимость функции
доказать. Что функция
очевидное следствие из теоремы о корне. Поэтому остается
возрастает на множестве
возрастающая.
.
Пусть
произвольные значения из
, такие, что
. По определению обратной функции
, и пусть
.
Воспользовавшись условием. Что
возрастающая функция находим, что допущение
приводит к выводу
Поэтому
, т. е. из условия
, т. е.
следует, что
. Это противоречит условию
.
Типовые задания:
1. Выведите формулу, задающую функцию
, обратную к заданной функции
.
Укажите
:
.
2. Постройте график функции, обратной к
:
.