Конспект урока по теме: «Скалярное произведение векторов. Угол между векторами» 11 класс

Урок № 35 (геометрия)

Класс: 11

Тема урока: «Скалярное произведение векторов. Угол между векторами»

Цель урока: усвоение понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов, формулы скалярного произведения в координатах; усвоение умений и навыков применения скалярного произведения векторов при решении задач, самостоятельно выбирая нужный метод решения; усвоение умений и навыков применения полученных знаний в нестандартных ситуациях.

Задачи урока:

1. Воспитательные: воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи, умения организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях; воспитание умения оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения; умения анализировать свою деятельность, делать самостоятельные выводы. 

2. Развивающие: развитие пространственного мышления; развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности; развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли; развитие интереса к предмету через содержание учебного материала; развитие умений самостоятельно оценивать и принимать решения; развитие коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве; развитие внимания, мышления, памяти, самостоятельности; расширение кругозора.

3. Образовательные: ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах; показать применение скалярного произведения векторов при решении задач; рассмотреть основные свойства скалярного произведения; сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами; показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Тип урока: комбинированный урок.

Форма проведения: классно-урочная.

Методы: показательно-иллюстративные с применением мультимедийных технологий: словесный, практический, контролирующий.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная работа.

Оборудование урока: компьютер, презентация Microsoft Office PowerPoint. записи на доске, учебники, индивидуальные карточки.

Ход урока

1. Организационный момент.

Проверка подготовленности учащихся к занятию.

Приветствие учителя и учащихся.

2. Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка темы, целей и задач урока, проверка домашнего задания.

Тема «Скалярное произведение векторов. Угол между векторами» является важной темой в геометрии. Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.

3. Актуализация мыслительных процессов через организацию сопутствующего повторения.

Задача 1. (Демонстрация экрана рис.1).

Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), ΔAОВ - прямоугольный.

Найти: 1) К(х; у; z) - центр окружности, описанной около ΔAОВ; 2) АК = R.

2. Устные упражнения

Решение задач с целью подготовить учащихся к восприятию нового материала.

Фронтальная работа с классом: отвечает один из учащихся, остальные при необходимости дополняют, исправляют ответ своего товарища.

Векторы в пространстве (рис. 2).

1. Дано: А(-3; -2; 4), В(-4; 3; 2).

Найти: 

 2. Дано: А(2; -3; 1), В(4; -5; 0), С(5; 0; -4), D(7; -2;-3).

Равны ли векторы ?

3. Коллинеарные ли векторы , если А(1; -3; 4), В(5; 1; -2), С(2; 0; 1), D(4; -2; 2) (рис. 3).

4. Изучение нового материала.

Словесное объяснение нового материала и работа с учебником п.76; 77 стр.171-172.

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при 

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

5. Здороровьесберегающие технологии.

Комплекс упражнений для снятия усталости –1 минута.

6. Первичное применение полученных знаний на практике. 

Демонстрация решения примера № 687 (а).

7. Формирование умений и навыков решения упражнений применение основного свойства дроби.

Практическое решение заданий.

1. Устно.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 7).

 Найдите угол между векторами

a) 

б) 

в) 

(Ответы: а) 45°; б) 45°; в) 135°.)

2. Решение задач № 687 (б).

Дополнительная задача

Вычислите угол между вектором  и координатным вектором 

 (Ответ: 48°11’.)

3. Решить самостоятельно (по группам, дифференцированные задания).

1 группа № 682 а); 2 группа № 684 а); 3 группа № 692 б).

Ответы: 

8. Закрепление изученного материала.

Ознакомиться с материалом:

https://resh.edu.ru/subject/lesson/5723/conspect/149166/

Просмотр видео:

https://www.youtube.com/watch?v=i0DXRtNdug8

9. Подведение итогов урока. Информирование учащихся о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

Учить пп.76, 77, 78 стр.171-173.

Дифференцированное домашнее задание.

I уровень: пройти онлайн тест по теме: 

https://onlinetestpad.com/ru/test/563942-skalyarnoe-proizvedenie-vektorov сделать screenshot результатов и прислать как д/з, подписав «Тест»;

II уровень: Решать №693; №694 письменно.

Желаю успехов!

10. Рефлексия.

Учитель задает вопросы, побуждая обучающихся к анализу своей деятельности на уроке. Выражает удовлетворение от работы на уроке, оценивает работу, благодарит за работу на уроке.

Скачано с www.znanio.ru