Конспект урока " Вписанная окружность "

На этом уроке мы узнаем, что если все стороны многоугольника касаются окружности, то  окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этого  многоугольника. Докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность. А вот, что  касается четырехугольника, то не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. И  также узнаем, что в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Конспект урока " Вписанная окружность "    Сегодня на уроке мы узнаем, что такое вписанная окружность. Докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность. А также покажем, что не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Ранее мы с вами рассматривали касание прямой и окружности. Напомню, что если задана окружность с центром в точке O и радиусом r, и точка A – общая точка прямой и окружности, то такая точка единственная. Прямая p, которая проходит через точку касания, называется касательной. Радиус OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной p. Напомним теорему: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Значит, точка O– центр окружности – лежит на биссектрисе угла. Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол. Как мы уже знаем, многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон. Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. На рисунке вы видите четырехугольник ABCD, треугольник STF и четырехугольник MNPQ. Заметим, что четырехугольник ABCD и треугольник STF описаны около окружности с центрами в точке о. Что нельзя сказать о четырехугольнике MNPQ. Он не является описанным около окружности с центром O, так как его сторона NP не касается окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Доказательство. . . Окружность касается всех трех сторон . Окружность вписана в треугольник . Теорема доказана. Замечания. 1. В треугольник можно вписать только одну окружность. Доказательство. Допустим, в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр второй окружности был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении его биссектрис. Но так как все биссектрисы пересекаются в единственной точке – в точке равен расстоянию от точки окружность единственная. 2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Доказательство. до сторон треугольника, то и вписанная в треугольник – и радиус Рассмотрим прямоугольник, у которого смежные стороны не равны. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать. Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник . Следовательно, суммы противоположных сторон в описанном четырехугольнике равны.Что и требовалось доказать. Верно и обратное утверждение: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Доказательство. Рассмотрим выпуклый четырехугольник . Пусть . Докажем, что эта окружность касается также стороны противного. Предположим, что это не так. Тогда возможны два случая. . Будем доказывать от 1) Прямая не имеет общих точек с окружностью. 2) Прямая пересекает окружность в двух точках, т.е. является секущей. Так как – описанный четырехугольник, то . , . Значит, в четырехугольнике C’CDD’ одна сторона равна сумме трех других сторон. Этого же не может быть. А тогда наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD. Что и требовалось доказать. Давайте ответим на вопрос: можно ли описать около окружности ромб, квадрат и прямоугольник. Почему? Итак, рассмотрим ромб. У ромба все стороны равны, отсюда суммы его противоположных сторон равны. Значит, в ромб можно вписать окружность. Напомним, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Следовательно, каждая диагональ является биссектрисой соответствующего угла. А так как все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке – в точке O – то точка O – центр вписанной окружности. Следующая фигура квадрат. Квадрат – это частный случай ромба. У него все стороны равны, значит и суммы противоположных сторон также равны. Следовательно, в квадрат можно вписать окружность. Что касается прямоугольника, то в него нельзя вписать окружность. Так как суммы его противоположных сторон не равны. Задача. В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной треугольника. Решение. см, считая от основания. Найдите площадь см и (см) (см) Рассмотрим . – прямоугольный. (см) (см) (см). Ответ: Повторим главное: . На этом уроке мы узнали, что если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этого многоугольника. Доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность. А вот, что касается четырехугольника, то не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. И также узнали, что в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.