Конспект урока "Осевая симметрия"

На этом уроке мы повторим такое понятие, как осевая симметрия на плоскости. Дадим  определение понятия осевой симметрии в пространстве. И докажем, что осевая симметрия  является примером движения пространства. Конспект урока "Осевая симметрия"    Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства. Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией. Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии. также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью Ещё мы давали такое определение: Точки прямая отрезку. Прямая Каждая точка прямой называется осью симметрии. и проходит через середину отрезка называются симметричными относительно прямой , если и перпендикулярна к этому считается симметричной самой себе. В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением. Напомним это доказательство. Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М1, и N1 – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости. Рассмотрим один из таких вариантов. По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ1 и NN1 и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ1 и NОN1 отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники. . . равным ему отрезком , а отрезок – равным ему . Заменив отрезок отрезком , получим, что Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N1. Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости. В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка точку Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства. переходит в симметричную ей относительно оси . Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М1 с координатами x1, y1,z1, симметричных относительно оси Оz. Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ1 и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ1, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что То есть , . и . Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ1 даёт нам, то что аппликаты точек М и М1 равны Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства. . Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны. Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М1 будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М1 имеют такие координаты , . Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М1 имеют такие координаты , . . По Теперь давайте рассмотрим любые две точки только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка и . Теперь давайте найдём расстояние . Получим, что . Теперь давайте найдём расстояние между точками и . Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства. Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки при осевой симметрии относительно оси Ох. при осевой симметрии относительно координатных осей. . То , , , Если точка то справедливы формулы: симметрична точке Точка отобразится в точку . . относительно оси отобразится в точку . отобразится в точку Если точка то справедливы формулы: симметрична точке Точка Точка Точка отобразится в точку отобразится в точку отобразится в точку Если точка то справедливы формулы: симметрична точке Точка Точка Точка Точка Точка относительно оси . относительно оси . . . . . . . отобразится в точку отобразится в точку отобразится в точку . Итоги: Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.