Конспект урока "Параллельность прямой и плоскости"

На этом уроке мы рассмотрим параллельность прямой и плоскости как один из трех возможных  вариантов их взаимного расположения в пространстве. Сформулируем и докажем теорему о  параллельности прямой и плоскости. А также докажем еще два утверждения, которые часто  применяют при решении задач. Конспект урока "Параллельность прямой и плоскости"    Вопросы занятия: · рассмотрим параллельность прямой и плоскости, как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве; · сформулируем и докажем теорему о параллельности прямой и плоскости; · докажем еще два утверждения, которые часто применяют при решении задач. Материал урока. Раньше мы с вами уже узнали аксиомы стереометрии. На этом уроке нам понадобится вторая аксиома: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. Отсюда вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Первый случай. Прямая лежит в плоскости, т.е. каждая точка прямой лежит в плоскости. Например, если SABC – треугольная пирамида, то прямая CB лежит в плоскости ABC. Второй случай. Прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку. Например, прямая B1B пересекается с плоскостью грани ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. И третий случай. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Например, если ABCDA1B1C1D1– куб, то прямая A1D1 и плоскость, в которой лежит грань ABCD, не пересекаются. Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность прямой а и плоскости α обозначается следующим образом . Читают: «Прямая a параллельна плоскости α». Отрезок (луч) называется параллельным плоскости, если он лежит на прямой, параллельной данной плоскости. Приведем несколько примеров параллельности прямой и плоскости. Вот возьмем, к примеру, гитару. Натянутая гитарная струна и плоскость грифа параллельны. Линии электропередач параллельны плоскости земли. Еще примером может послужить линия пересечения стены и потолка. Эта линия параллельна плоскости пола. Обратите внимание, в плоскости пола также есть прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной. Прямые о которых мы сейчас говорили, обозначены буквами а и b. Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащая в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны. Это утверждение (теорема) является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Докажем теорему. плоскость α. Причем они расположены так, что прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости α. Пусть у нас есть две параллельные прямые а и b и Предположим, что прямая а пересекает плоскость α в некоторой точке М. А значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также должна пересекать плоскость α. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α по условию. Таким образом, наше предположение неверно. И прямая а не пересекает плоскость α. По условию она не лежит в плоскости α. Следовательно, прямая а параллельна плоскости α. Теорема доказана. На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Прямая A1B1 параллельна плоскости α, в которой лежит грань ABCD. Действительно, прямая A1B1параллельна прямой AB, лежащей в плоскости α. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости A1B1 параллельна α. Докажем еще два утверждения, которые часто применяются при решении задач. Первое утверждение. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Докажем это утверждение. Пусть плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β. И плоскости α и β пересекаются по прямой b. Докажем, что прямая а параллельна прямой b. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости α) и не пересекаются: ведь в противном случае, если бы прямые а и b пересекались в некоторой точке М, тогда бы прямая а пересекала плоскость β в точке М. Что невозможно, поскольку прямая а параллельна плоскости β по условию. Таким образом, прямые а и b параллельны. Что и требовалось доказать. Второе утверждение. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны. Причем прямая а параллельна плоскости α. Тогда прямая а не пересекает плоскость α, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость α. А значит, прямая b либо параллельна плоскости α, либо лежит в этой плоскости. Что и требовалось доказать. Задача. Прямая через точку Доказательство. Пусть прямая b проходит через точку K и параллельна прямой а. . Докажите, что прямая, проходящая . Точка и параллельная прямой , лежит в . Предположим, что прямая b не лежит в плоскости α, т.е. пересекает плоскость α в точке К. Тогда прямая а также пересекает плоскость α по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми. А это противоречит условию. Следовательно, прямая b лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать. Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели параллельность прямой и плоскости, как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве. Сформулировали и доказали признак параллельности прямой и плоскости. А также доказали два утверждения, которые часто применяют при решении задач.