Конспект урока "Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости"

Этот урок знакомит с определением прямой перпендикулярной к плоскости, после чего  рассматриваются примеры решения задач с применением этого определения. Кроме того,  доказываются прямая и обратная теоремы о параллельных прямых, перпендикулярных к  плоскости, которые находят своё применение в решении геометрических задач. Конспект урока "Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости"    Материал урока. Вам уже знакомо определение перпендикулярных прямых в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. При этом возможны два случая их расположения относительно друг друга. Они могут пересекаться и скрещиваться. Так же мы доказали очень важную лемму о том, что, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Сегодня мы начнём говорить о прямой перпендикулярной к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой к плоскости обозначают так говорят, что прямая a перпендикулярна к плоскости α. . И Давайте посмотрим на наш рисунок. По определению прямая a должна быть перпендикулярна к любой прямой плоскости α. Но ведь в данной плоскости можно провести бесконечное множество прямых. И мы с вами никак не сможем проверить перпендикулярность прямой a к каждой из них. Но в этом нам поможет признак перпендикулярности прямой к плоскости, который мы будем изучать на следующих уроках. А пока мы владеем только определением, из которого можно получить такоесвойство: если прямая a перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая не пересекала плоскость, то она либо лежала бы в этой плоскости, либо была бы параллельна ей. Ведь других случаев взаимного расположения прямой и плоскости нет. Но тогда, для каждого из этих случаев в плоскости α можно найти прямые не перпендикулярные прямой a. Такими, например, будут прямые параллельные a. Это противоречит определению. Ведь прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой из этой плоскости. Тем самым мы убедились в том, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то она её пересекает. А значит, имеет с ней только одну общую точку. В качестве примера перпендикулярных прямых к плоскости из жизни, можно привести линии пересечения стен к плоскости пола. Каждая из них перпендикулярна к этой плоскости. Также непокосившийся столб электропередач, перпендикулярен к плоскости земли. Колонны здания перпендикулярны к плоскости фундамента. Выполним задание. , и лежат на прямой, перпендикулярной к Задача. Точки плоскости а точки , являются прямыми? , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов а) б) в) г) д) Решение. Изобразим плоскость α и прямую a перпендикулярную к ней. Точки А, М и О лежат на данной прямой. Причём точка О лежит одновременно и в плоскости α, значит, она и является точкой пересечения прямой и плоскости. Ну, а точки B, C и D лежат в плоскости. Итак, первым рассмотрим угол AOB. Сторона АО этого угла лежит на прямой a, значит, ОА перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, в том числе и прямой OB. Тогда получаем, что угол АОB равен 90°. Следующим рассмотрим угол МОC. Аналогично предыдущему случаю, сторона МО лежит на прямой a и перпендикулярна к плоскости α, а значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, в том числе и прямой OC. Получаем, что угол МОC равен 90°. Далее обратим своё внимание на угол DАМ. Допустим, что он прямой. Рассмотрим треугольник АОD. Угол АОD равен 90°, так как АО перпендикулярно к плоскости, а значит перпендикулярно к любой прямой из этой плоскости, в том числе и прямой ОD. Тогда мы получаем, что в треугольнике АОD два прямых угла. А такого быть не может. Тем самым мы получили противоречие, значит, наше допущение было не верным, и угол DАМ не равен 90°. Рассмотрим угол DОА. Сторона ОА перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к любой прямой из этой плоскости, в том числе и к прямой ОD. Значит, угол DОА равен 90°. И последний угол, который мы рассмотрим, это угол BМО. Допустим, что он прямой. Рассмотрим треугольник BМО. Угол BОМ равен 90°. Так как сторона МО перпендикулярна к плоскости α и, соответственно, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, в том числе и прямой ОB. Получаем, в данном треугольнике два прямых угла. Мы получили противоречие. Это значит, что допущение, сделанное нами, не верно, и угол BМО не равен 90°. Итак, теперь вы уже имеете представление о прямой перпендикулярной к плоскости и мы можем записать теорему о параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые a и a1 и плоскость α, к которой перпендикулярна прямая a. Нужно доказать, что прямая a1 также перпендикулярна к плоскости α. Проведём произвольную прямую x в плоскости α. Так как прямая a перпендикулярна к данной плоскости, что она перпендикулярна по определению к любой прямой из этой плоскости, в том числе и к прямой x. Исходя из того, что прямые a и a1 параллельны и a перпендикулярна к прямой x. На прошлых уроках мы познакомились с леммой о том, что, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Значит, в нашем случае прямая a1 также перпендикулярна к прямой x. И какую бы прямую на плоскости мы не взяли в качестве x, последнее утверждение будет всегда верным. А это значит, что прямая a1 перпендикулярна к любой прямой плоскости α и соответственно перпендикулярна к плоскости α. Что и требовалось доказать. Также имеет место обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство. Рассмотрим прямые a и b, перпендикулярные к плоскости α. Докажем, что они параллельны. На прямой b произвольно выберем точку М и проведём через неё прямую b1 так, чтобы она была параллельна прямой a. Тогда по лемме получаем, что b1 перпендикулярна к плоскости α. Если прямые b и b1 пересекаются, то через них можно провести плоскость. Назовём её β. Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямая b перпендикулярна к плоскости α, а прямая c лежит в ней, значит прямые b и c перпендикулярны. Прямая b1 также перпендикулярна к плоскости α, а прямая c лежит в ней, значит прямые b1 и c перпендикулярны. Так мы получили, что через точку М проходят две прямые, b и b1, перпендикулярные к прямой c. Как вы уже знаете, это невозможно. Тогда прямые b и b1 должны совпадать. Из построений прямая b1 параллельна прямой a. А так как b и b1 совпадают, то становиться очевидно, что прямая b так же параллельна прямой a. Что и требовалось доказать. Задача. . Определить вид четырёхугольника и найти его периметр. см. , и Решение. Ответ. ABB1A1 — квадрат, периметр которого равен 21,6 см. Решим ещё одну задачу. пересечения диагоналей квадрата, сторона Задача. Через точку которого равна плоскости квадрата. Найти расстояния от точки если . , проведена прямая , перпендикулярная к до каждой из вершин квадрата, Решение. Итак, в ходе построений мы получили четырёхугольную пирамиду. ABCD — квадрат. Значит, его диагонали AC и BD равны. Тогда соответственно и половины диагоналей АО, ОC, BО и ОD также равны. Отрезок КО перпендикулярен к плоскости квадрата. Это позволяет записать, что КО перпендикулярен и к прямым AC и BD. Значит, углы КОА, КОB, КОC и КОD являются прямыми. Рассмотрим прямоугольные треугольники КОА, КОB, КОC и КОD. Они равны по двум катетам. Это позволяет сделать ввод о равенстве расстояний от точки К до каждой из вершин квадрата. Рассмотрим треугольник ABC и по теореме Пифагора найдём длину гипотенузы AC, которая является диагональю квадрата. Она равна . Соответственно длина половины диагонали равна . Тогда из треугольника КОА по теореме Пифагора найдём длину гипотенузы КА, которая и задаёт расстояние от точки К до вершины А квадрата. В ходе вычислений получаем . Такой же величиной измеряются и расстояния от точки К до вершин B, C и D квадрата. Ответ. Подведём итоги нашего урока. Сегодня мы познакомились с определением прямой, перпендикулярной к плоскости. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Также записали свойство. Если прямая А перпендикулярна к плоскости Альфа, то она пересекает эту плоскость. Мы доказали, что, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Имеет место также и обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Сведения, полученные на этом уроке, мы применили при решении задач.