Конспект урока «Первый признак равенства треугольников» ( 7 класс, геометрия)

Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики Конспект урока «Первый признак равенства треугольников»  (урок №1, 7класс, геометрия, по учебнику Атанасяна Л.С.) Автор – Яковлева Татьяна Леонидовна Образовательное учреждение  ­ Муниципальное общеобразовательное  учреждение « Степановская средняя школа Оренбургского района» Оренбургской области. Цели урока: Обучающая:     ввести понятие теоремы и доказательства теоремы; доказать первый признак равенства треугольников; научить   решать   задачи   на   применение   первого   признака   равенства треугольников. Развивающая:    выработать умения сопоставлять, обобщать полученные           выводы, оценивать влияние условий на результат,  развивать логическое мышление учащихся. Воспитательная:    выработать   умение   анализировать   данные,   выводить   логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы. выработать умение концентрировать внимание, сосредотачиваться.    Методическая   цель:   опробовать   новый   подход   к   формулировке   теоремы, выяснить уловят ли учащиеся момент, когда условия становятся достаточными. Тип урока: комбинированный. Оборудование:  компьютер, экран, проектор, презентация, линейка, треугольник, цветные мелки. 1 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики                                              Ход урока 1 Организационный момент: (2 мин) ­   На   предыдущем   уроке   мы   приступили   к   изучению   главы   «Треугольники». Выяснили, какие две фигуры, в частности два треугольника называются равными. Сегодня мы   выясним,   можно   ли   установить   равенство   двух   фигур   не   проводя   фактического наложения   одной   на   другую,   а   сравнивая   только   некоторые   элементы   этих   фигур,   в частности как сравнить треугольники. 2 Повторение пройденного материала:  (6 мин) Повторим материал прошлого урока. 1. Теоретический опрос по вопросам:     объясните, какая фигура называется треугольником; начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы; что такое периметр треугольника? какие треугольники называются равными? 2. Каждому учащемуся выдается конвертик, в котором находится 6­7 бумажных треугольников; учащимся предлагается найти среди них равные. Когда  поиск закончен, спросить одного  из учеников, как он нашел  эту пару. Ученик расскажет, как он накладывал один треугольник на другой. 3. Выполнение   практического   задания   в   тетради   с   последующей   устной проверкой:   №1: На доске(или слайде) начерчены ∆DEK, ∆MNP. Рисунок 1 Назовите углы:  а) Углы ∆DEK, прилежащие к стороне ЕК;   б) углы ∆MNP, прилежащие к стороне MN.   Назовите угол:     а) ∆DEK, заключенный между сторонами DE и DК;  б) ∆MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.  Между какими сторонами:     а) ∆DEK заключен угол К;      б) ∆MNP заключен угол N? №2: ∆АВС= ∆КМР. Назовите равные стороны и равные углы этих треугольников. 2 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики Рисунок 2   Вызываю ученика к доске, он сопровождает свой ответ демонстрацией на чертежах и записью на доске, класс проверяет записи, сделанные в тетради.  3 Изучение нового материала:  (16 мин) Чтобы   установить   равенство   двух   треугольников,   надо   их   совмещать   или проверить равенство соответствующих сторон и соответствующих углов. Шесть равенств! Но иногда ни совместить, ни проверить все шесть равенств нет возможности. Да это и не нужно, оказывается достаточно установить лишь часть из них. Наша цель – определить, какие из шести этих равенств действительно необходимы. Рассмотрим треугольники АВС и АСD (рис.3). Они равны? Рисунок 3 [Нет]   Объясните,   почему.   (Это   важно:   требуется   применить   «выученное» определение ) [АВ ≠ АD] ­ Но у них сторона АС  общая. [Ну и что? Должны быть равны все соответствующие стороны и углы.]   ­   Верно.   Теперь   рассмотрим   на   рисунке   4   треугольники   АВD  и   АСD.   Какие стороны и углы у них равны? Рисунок 4 3 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики [Угол А  ­ общий и сторона АD общая, но АВ ≠ АC, Значит треугольники не равны] ­ Итак, у двух треугольников угол общий и сторона общая, но этого недостаточно, чтобы они были равны. Сделаем еще шаг. Если бы мы узнали, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, можно ли утверждать, что такие треугольники равны? [Нет. Ведь другие стороны не равны]  ­О других элементах ничего не известно. [Тем более. Нельзя говорить, что треугольники равны, пока не выясним, что и другие равенства выполняются.]  ­Итак, перед нами проблема. Ее решением и займемся. Оказывается справедливо утверждение « Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,   то   такие   треугольники   равны».   Это   утверждение   называется   «Первый признак равенства треугольников». А в математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается  называется   теоремой,   а   сами   рассуждения   называются путем   рассуждений, доказательством теоремы. ­ Какие теоремы нам уже известны? [Свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.] ­ Почему же теорема о равенстве треугольников называется признаком?  Признак (по В.Далю) – это знак, отличие, все, почему узнают что–либо. Увидев морозный узор на окне, можно, не выходя из дома, сказать, что на улице холодно. Чтобы узнать,   делится   ли   число   7859467   на   9,   не   обязательно   выполнять   деление:   можно воспользоваться признаком делимости. Признак   дает   возможность   устанавливать   равенство   двух   треугольников,   не проводя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников. ­ Любая теорема состоит из условия и заключения. Как вы понимаете, что может означать словосочетание «условие теоремы»,  а что – «заключение теоремы»?  [Условие   ­   это   уже   известные   факты,   о   которых   говориться   в   теореме,   а заключение – это то, что нужно доказать.] ­ Выделите условие теоремы «Первого признака равенства треугольников». [Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. ]  ­ Выделите  заключение теоремы. [ То такие треугольники равны.] Итак, докажем первый признак равенства треугольников: Дано: ∆ АВС, ∆ А1В1С1,  АВ = А1В1,             АС = А1С1, А =   А1. Доказать: ∆ АВС =  ∆ А1В1С1. Доказательство:  4 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики Рисунок 5  ­ Вспомним определение равных треугольников. [Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.] ­ Так и поступим: будем накладывать ∆ АВС на  ∆ А1В1С1. Теперь нужно рещить, с чего начать: Накладывать сразу весь треугольник или сначала одну сторону? [Конечно, сначала одну сторону. Это легче.]  ­ И еще вопрос: сразу накладывать сторону или сначала вершину? [Сначала вершину треугольника.] ­   Обязательно   обратите   внимание,   в   ходе   доказательства   необходимо   четко различать, какие элементы треугольника совпадают благодаря наложению  (мы   их   занумеруем),   а   какие   –   по   условию   теоремы. Будем накладывать ∆ АВС на  ∆ А1В1С1 так, чтобы  1) точка А совместилась с точкой А1 ; 2) луч АС прошел по лучу А1С1. Что можно сказать про точку С? [Так как  АС = А1С1, то точка С совпадает с точкой С1.] ­ Правильно. Так как   А =   А1 по условию, то мы можем наложить  ∆ АВС на  ∆ А1В1С1 Так, чтобы: 3) луч АВ прошел по лучу А1В1. Что происходит дальше? [Так как АВ = А1В1, то точка В совпадет с точкой В1. И сторона ВС совпадет со стороной В1С1..]  ­ Почему? Точка В совпала сточкой В1, точка С совпала сточкой С1, а через две точки можно провести только одну прямую – есть такое утверждение. Треугольники  АВС и     А1В1С1  полностью   совместились,   значит   они   равны   по   определению   равных треугольников. Теорема доказана.   Далее оформляем запись доказательства­ учитель на доске, ученики в тетради, одновременно закрепляя его. ­  А  теперь  рассмотрим  еще  один   вопрос.  Но  сначала   послушайте   внимательно формулировку: Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу   другого треугольника, то такие треугольники равны. Как вы думаете, верно ли это утверждение?  Рассмотрим ∆ АВС и  ∆АDС.  5 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики Рисунок 6 Сторона АВ треугольника АВС равна стороне АD треугольника АDС, сторона АС –   общая,   и    С   –   общий.   Но   треугольники   не   равны.   Итак,   условие   утверждения выполнено, а заключение – нет. Значит утверждение не верно. Обратите особое внимание, на то, что условие «между ними» необходимо! 4 Закрепление нового материала: (10 мин) Рассмотрим, как же можно применить теорему для решения задач. Устное решение задач по готовым чертежам, заранее заготовленным на обратной стороне доски или на слайде. №1. Доказать: ∆   МЕF = ∆DЕС.             №2. Доказать:   В =   D.                      Рисунок 7                                                               Рисунок 8 Для решения каждой задачи вызываю ученика к доске, где он комментирует решение,   показывая       упомянутые   элементы   на   чертеже.   Остальные   учащиеся слушают,  поправляют, дополняют ответ, если в этом есть необходимость. Акцентирую   внимание   учащихся   на     обязательности   содержательной   ссылки «треугольники   равны   по   двум   сторонам   и   углу   между   ними»,   а   не   формальной «треугольники равны по первому признаку», выясняю всем ли был понятен ход решения, если возникли вопросы, сама отвечаю на них. 6 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики ­ Если  в задаче понадобится доказать, что два треугольника равны, чем следует воспользоваться: определением или теоремой? [Конечно,   теоремой.   Согласно   определению   нужно   треугольники   совмещать,   а согласно теореме – проверить три равенства.]    Далее решаем задачу № 94 из учебника. Оформление решения на доске выполняю сама. Задача:  На рис. АВ = АС,   1 =   2.  а) Докажите, что треугольники АВD и АСD равны;  б) найдите ВD и АВ, если АС=15 см, DC=5 см. Дано:           АВ = АС,   1 =   2,          АС=15 см, DC=5 см. Доказать: ∆АВD = ∆АСD.  Найти: ВD, АВ. Доказательство:  Прежде   чем   оформить решение на доске, предлагаю ученикам устно    решить задачу. Один ученик комментирует   доказательство. Другой – нахождение длин отрезков. А затем                                                          Рисунок 9 записываем решение задачи: я на доске, ученики в тетради.                                                                                                        Возможная запись решения: Доказательство:  Рассмотрим ∆АВD  и ∆АСD.           АВ = АС ( по усл.)          АD – общая сторона             1 =   2 ( по усл.)                                       сторонам и углу между ними) Словестный комментарий: треугольники АВD и АСD равны по двум сторонам и углу между ними, первый признак равенства треугольников, в котором говориться: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум   сторонам   и   углу   между   ними   другого   треугольника,   то   такие   треугольники равны.»  ∆АВD   = ∆АСD (по двум  Решение:  ВD  =DC  =5   см,   АВ   =   АС   =   15   см.(   как   соответственные   элементы   равных треугольников).         Ответ: ВD =5 см, АВ = 15см. Выясняю, не возникли ли вопросы по ходу решения. 5 Самостоятельная работа:  (5 мин) ­  А сейчас каждый из вас попытается решить задачу самостоятельно: 7 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики ∆КFН=∆ЕРН.   На   рис.   10    1   =    2,   КF  =ЕР,   Н   –   середина   отрезка   КЕ.   Доказать,   что Рисунок 10 По   окончании   работы   вызываю   ученика   для   записи   решения   на   доске, остальные сверяют свое решение с записью на доске. 6 Итог урока:  (4 мин) Итак, давайте повторим­ ­ Какие треугольники называются равными? ­ Что называется теоремой? ­Что называется доказательством теоремы?  ­ Какую теорему мы сегодня доказали? Сформулируйте ее. ­ Почему теорема называется признаком? Ученики отвечают на вопросы. ­   Мы   доказали   признак   равенства   треугольников   по   трем   элементам   –по   двум сторонам   и   углу   между   ними,   а   как   вы   думаете,   можно   ли   будет   доказать   равенство треугольников по другим элементам и по каким именно? Выяснением  возможно ли это мы займемся на следующих уроках. Выставляю оценки за работу на уроке с комментарием.  7 Домашнее задание:  (2 мин) П 14,15. Вопросы 1 ­4 стр. 49. №93,95. №93. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из   них.     А)   Докажите,   что   треугольники   АВС   и   ЕВD  равны;   б)   найдите   углы   А   и   С треугольника АВС, если в треугольнике ВDЕ   D=470,          Е= 420. №95. На рис. ВС=АD,    1 =    2, а) Докажите, что треугольники АВС и СDА равны; б)Найдите АВ и ВС, если АD =17см, DС=14см. 8 Яковлева Татьяна Леонидовна МОбУ «СОШ №62" г. Оренбурга Учитель математики Список литературы. 1. Атанасян   Л.С.,Бутузов   В.Ф.,   и   др.   Геометрия   7­9.Учебник   для   7­9   классов средней школы.­ – М.: Просвещение, 2006. 2. Атанасян   Л.С.,Бутузов   В.Ф.и   др.     Изучение   геометрии   в   7­9   классах. Методические рекомендации к учебнику. –М.: Просвещение, 2000. 3. Рыбникова   М.Р.Геометрия.   Задачи   на   готовых   чертежах.­   Луганс:Учебная книга, 2004. 4. Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. – М: Просвещение, 1987.   7   класс. 5. Финкельштейн   В.   Математика. Еженедельное                 учебно­методическое   приложение   к   газете   первое сентября 2002. № 36. С. 11 ­12.   Первые   теоремы   // 9