Конспект урока "Площадь поверхности конуса"

На данном уроке  мы поговорим о развертке боковой поверхности конуса. Выведем формулы для  вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности конуса. А также  научимся их применять при решении практических задач. Конспект урока "Площадь поверхности конуса"    На этом уроке мы выведем и научимся применять формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и площади полной поверхности конуса. Для начала давайте вспомним, что же это за геометрическое тело – конус. Итак, тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей называется конусом. Напомним, что боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса. , На экране изображён конус, у которого радиус равен Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. , а образующая равна . Давайте представим, что боковую поверхность конуса разрезали по образующей сектор . и развернули таким образом, что получился круговой Стороны конуса. и которого являются двумя краями разреза боковой поверхности Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Обратите внимание, радиус сектора равен образующей конуса, т.е. . А длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую и радиус основания . . Площадь кругового сектора – развёртки боковой поверхности конуса – равна , где – градусная мера дуги . Выразим через длину дуги и радиус окружности. Длина дуги окружности с градусной мерой равна два пи эр, т.е. пи эль альфа деленное на сто восемьдесят равно и радиусом равна . С другой стороны, длина этой дуги . Отсюда, поверхности конуса. Тогда площадь боковой поверхности конуса . Подставим это выражение в формулу площади боковой равна поверхности конуса с образующей и радиусом основания следующей формулой: . . Т.е. площадь боковой выражается Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Теперь выведем формулу для вычисления площади полной поверхности конуса. Вообще, площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса равна мы с вами выразили выше, а площадь круга . Подставим все данные в формулу. Упростим. Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности конуса равна . А сейчас давайте решим несколько задач на применение выведенных формул. Задача: образующая конуса равна площадь боковой поверхности конуса. Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. см, а его высота – см. Вычислите Теперь внимательно рассмотрим рисунок. Напомним, что высота конуса перпендикулярна его основанию. А, значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания конуса. Следовательно, высота конуса . Рассмотрим длину стороны ОА равно . Он прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, найдём , которая и является радиусом основания конуса. Получаем, что . Подставим длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности конуса равна . Запишем ответ. дм2. Вычислите площадь боковой поверхности конуса. Задача: радиус основания конуса равен – Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. дм, а площадь его осевого сечения Теперь рассмотрим рисунок. Напомним, что осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, и представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Значит, – равнобедренный. Так как по условию задачи радиус основания конуса равен 9 дм, то основание осевого сечения равно . Напомним, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту . Выразим из формулы высоту . Получаем, что высота треугольника, а она является и высотой конуса, равна . . Он прямоугольный, так как . Применяя теорему Рассмотрим Пифагора, найдём длину что гипотенуза . Получаем, . Обратите внимание, есть образующая нашего конуса. Подставим найденную длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности конуса равна . Не забудем записать ответ. Задача: прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны см и вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь полной поверхности конуса, образованного при этом вращении. Решение: запишем формулу для вычисления площади полной поверхности конуса. см, Рассмотрим . Он прямоугольный по условию. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдём длину гипотенузы является образующей конуса. Имеем, . , которая и Так как по условию задачи треугольник вращается вокруг меньшего катета, то радиус основания конуса, образованного при этом вращении, равен . Подставим длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади полной поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь полной поверхности нашего конуса равна . Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и площади полной поверхности конуса. А также научились их применять при решении задач.