Конспект урока "Площадь поверхности цилиндра"

На этом уроке мы поговорим о развертке боковой поверхности цилиндра. Выведем формулы для  вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности цилиндра. А также  научимся их применять при решении задач. Конспект урока "Площадь поверхности цилиндра"    На этом уроке мы выведем и научимся применять формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади полной поверхности цилиндра. Для начала давайте вспомним, что же это за геометрическое тело – цилиндр. Итак, тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами Напомним, что боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра. , называется цилиндром. и На экране изображён цилиндр с радиусом себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости . Давайте представим и развернули и высотой . получится прямоугольник . Стороны , которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра . Этот прямоугольник называется развёрткой боковой В результате в плоскости и по образующей поверхности цилиндра. Обратите внимание, основание окружности основания цилиндра, отсюда сторона основания, т.е. равна цилиндра, т.е. , где . прямоугольника является развёрткой – радиус цилиндра. А сторона равна длине окружности равна высоте Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки. А так как , то развертка боковой поверхности цилиндра есть прямоугольник площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длин сторон прямоугольника , или равна на . Итак, мы с вами вывели формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса и высоты : . Получили, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Теперь выведем формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра. Вообще, площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Напомним, что основаниями цилиндра являются два равных круга, каждый с площадью поверхности цилиндра Подставим все данные в формулу. Упростим. . А формулу для вычисления площади боковой мы с вами уже вывели выше. Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле: . А сейчас давайте решим несколько задач на применение выведенных формул. прямоугольника равны соответственно см и около Задача: цилиндр получен в результате вращения прямоугольника прямой сторон Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. . Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, если длины и см. Теперь внимательно рассмотрим рисунок. Обратите внимание, сторона основания цилиндра. А сторона прямоугольника является радиусом – это высота нашего цилиндра. см Подставим эти данные в формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности нашего цилиндра равна . Запишем ответ. Задача: осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна см. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра. Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Теперь рассмотрим рисунок. Напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Так как по условию задачи осевое сечение цилиндра квадрат все стороны осевого сечения равны диаметр цилиндра равен высоте цилиндра равносторонний цилиндр. . А, значит, имеем – квадрат , то . Тогда получаем, что Найдём, чему равна сторона осевого сечения. По условию нам дана длина диагонали квадрата. Значит, можем вычислить и его сторону. Напомним, что диагональ квадрата можно вычислить по формуле: квадрата. Отсюда выразим сторону квадрата. Тогда получим, что сторона осевого , где а сторона сечения равна . Так как радиус равен половине диаметра, то Подставим найденные радиус основания цилиндра и его высоту в формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что . площадь боковой поверхности цилиндра равна . Не забудем записать ответ. см. Площадь сечения цилиндра плоскостью, Задача: высота цилиндра равна параллельной оси цилиндра и находящейся на расстоянии см2. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра. Решение: запишем формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра. см от нее, равна Теперь рассмотрим рисунок. Напомним, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра. Следовательно, сечением нашего цилиндра служит прямоугольник . Ранее мы с вами говорили, что высота цилиндра и его образующие параллельны и равны. Значит, стороны сечения равны (см). и Найдём, чему равны стороны и сечения. Так как площадь сечения равна 160 см2, то стороны Рассмотрим . Он равнобедренный, так его стороны . . Так как расстояние от точки до прямой – это есть перпендикуляр, то отрезок является перпендикуляром, проведённым к стороне – высота равнобедренного равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. , а, значит, и медиана по свойствам высоты . Следовательно, Теперь рассмотрим . Он прямоугольный. . по условию. Отсюда, применяя теорему Пифагора имеем, . Подставим значения радиуса и высоты цилиндра в формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь полной поверхности нашего цилиндра равна . Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади полной поверхности цилиндра. А также научились их применять при решении задач.