Конспект урока по алгебре на итоговом повторении по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Конспект урока по алгебре и началам анализа на итоговом повторении  Тема: «Решение тригонометрических уравнений» Цели:   образовательные:   по   теме: «Тригонометрические   уравнения»;   оказать   помощь   в   совершенствовании   систематизировать   знания   навыков   решения   простейших   тригонометрических   уравнений.   Построить алгоритм действия при решении тригонометрических уравнений.  развивающая: Способствовать развитию умений сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы;   воспитательная: взаимоконтролю,     Побуждать   учащихся   к   самоконтролю   и воспитывать активность, познавательную     самостоятельность, упорство в достижении цели, развивать коммуникативные умения, рефлексию, культуру и дисциплину умственного труда. Универсальные   учебные   действия   (УУД):  личностные:  формирование устойчивой мотивации к обучению на основе алгоритма выполнения заданий; регулятивные:  оценивание   правильности   выполнения   действия   на   уровне адекватной   ретроспективной   оценки;  познавательные:  осуществление поиска   необходимой   информации   для   выполнения   учебных   заданий   с использованием   учебной   литературы;  коммуникативные:  учитывание разных   мнений   и   стремление   к   координации   различных   позиций   в сотрудничестве. Планируемые образовательные результаты: знать: определения обратных тригонометрических   функций,   основные   формулы   для   решения тригонометрических уравнений; формулы тригонометрии; способы решения однородных тригонометрических уравнений первой степени, второй степени; графическое   изображение   решений   тригонометрических   уравнений   и  уметь:  вычислять   обратные   тригонометрические   функции неравенств; некоторых   числовых   значений;   решать   простейшие   тригонометрическое уравнения   и   сводящиеся   к   ним,   а   также   применять   тригонометрические преобразования   к   более   сложным;   показывать   решение   на   единичной окружности, воспринимать устную речь, участвовать в диалоге; применять: полученные   знания   к   решению   тригонометрических   уравнений   различной трудности,   изученные   формулы   к   преобразованию   тригонометрических выражений   и   решению   уравнений;  приобретенная   компетентность: целостная. Оборудование:       таблицы  задания на печатной основе;  тетради для самостоятельных работ; проектор; Интерактивная доска (рисунки к уроку № 1). I. Организационный момент. Данные уравнения могут присутствовать в заданиях групп В и С на ЕГЭ. В   заданиях   группы  В  обычно   предлагаются   простейшие   уравнения   или задания,   в   которых  приходится   применять   различные   методы   решения уравнений.   В   заданиях   группы   С   решение   тригонометрического   уравнения является   одним   из   этапов   решения   показательного,   логарифмического уравнений или исследования функции.  II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся. К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся  уравнения:  sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a Повторение материала проводится по таблице   cos x = a решений нет tg x = a ctg x = a х = arctg a + πn, n Z х = arcctga +πn, n Z x = (–1)narcsina + π n, n  Z x = ± arccosa +2 π n, n Z à > sin x = a решений нет 1 à < 1 a = 1 х =   2 a= –1  x = –  a = 0 x = π n, n Z n,   + 2π n, n Z  2 + 2π n, n Z  x = 2π n, n Z х =  x= π +2π n, n Z x=  2 +2π n, n Z  +πn, n Z 4  4 +πn, n Z х = –  x = π n, n Z  2  2 [0; π], cos b = a  ;  ], sin b = a  x= x= x=  4 3 4  2 +πn, n Z +πn, n Z + πn,n Z Арксинусом числа а называется число b, b  [–  Арккосинусом числа а называется число b, b  arcsin(– a) = – arcsinа;         arccos (–a) =   π – arccosa; arctg(– a) = – arctga;            arcctg(– a) =   – π arcctga. Тригонометрический круг: (интерактивная доска) III. Реализация целей урока. Устно. Решить уравнения: 1) sin х= 1;  2) cos x =  3 ; 3) cos x = –  2 1 ; 4) sin х =  2 2 ; 5) tg х = 1; 6) сtg х =  3 ; 7) сtg х 2 = – 3; Письменно:  Задание 1. Решите уравнения:  8) sin х =  3   2 Решение:   х = (– 1)k arcsin  3  + π k, k  2  Z;   х = (– 1)k   3  + πk k   Z. Ответ: х = (– 1)k   3  + πk,  k Z. Работа в парах: (через проектор) Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 9) cos 2x = 0,5; 10) sin 4х = 0; 14) sin (2х – 3) =0,5; 15) cos (3х –  ) = 0;  4 х 2 х = sin  =  cos 3 ; 2  3 . 16) 2sin 17) cos(  х 2  2 11) tg 3х = 0; 12) 2 cos 2x –  3 = 0; 13)  2 sin 3х + 1 = 0; Ответы: 9) х =     6 Zkk  , ; 10) х =  4 k, kZ; 11) х =   3 k, kZ;   12)  х  =     12  kk  , Z ;  13)  х  =    k   1 1  12 3  kk ,  Z ;  14)  х  =   k  1  12  5,1   2 kk ,  Z ; 15) х =   4 3  Zkk  , ; 16) х =   k  1  3   kk ,  Z ; 17) х =   k  1  3   kk ,  Z .  Часто   в   тестах   ЕГЭ   к   заданиям   даны   дополнительные   вопросы. Рассмотрим  некоторые  из них  на примере  задания  №1 (уравнение 8).  При ответах   на   дополнительные   вопросы   удобнее   представить   решения   в   виде объединения двух семейств решений х =   3  + 2πk, k Z (1)       х =  2 3  + 2πn, n Z (2). Дополнительные вопросы (проектор) А) Найдите наименьший положительный корень. Выбираем наименьшее положительное решение из каждого семейства. Из (1) имеем х =   3 , из (2)  х =  2 3 . Наименьшим из них будет   3 .        Ответ:   3  или 60°. Б) Найдите наибольший отрицательный корень. При k = – 1 из (1) имеем х =   3  – 2πk = ­  5 3 . При n= – 1 из (2) имеем х =  Наибольшим из них будет –  2 3 4 3  – 2π = –  4 3 . .                                 Ответ: –  4 3  или – 240°. В) Укажите те корни уравнения, для которых cos х > 0 Отметим все решения уравнения (1) на тригонометрическом круге. Из этих решений надо выбрать те, для которых cosx > 0. Известно, что cos х > 0, если х лежит в I четверти или в IV четверти. Получаем, что  х =   3  + 2πk, k   Z                        Ответ:   3  + 2πk, k   Z. Г) Укажите те корни, которые лежат в промежутке  [–3π; – π]. Решим системы       3   3  Z  2    (1)  и       2  3   3  Zn n  2   (2). Имеем (1)      k 5  3  Zk . , 2 3   k = – 1 и х = –  5 3 .  (2)       n  11 6  Zn , 5 6   n= – 1 и х = – 4 3 .                           Ответ: –  5 3 ; –  4 3 . Д) Сколько корней имеет уравнение на промежутке [–3π;   2 ]? Решим системы       3   3  Z  2   2  (1)  и       2  3  n 2   2  (2).   3  Zn Решением (1) системы будет k = – 1 и k = 0. Решением (2) системы будет n= – 1. Таким образом, получаем 2 + 1 = 3 корня.      Ответ: 3 корня Е) Найти ближайший к π корень уравнения. Отметим все корни уравнения (I) на тригонометрическом круге. Искомым корнем является  2 3 . Ответ: 2 3 . Ж) Между  какими  корнями заключено число – π ? Отметим   корни   уравнения   (1)   на   координатной прямой. Ответ: –  4 3 < – π<   3 . З) Найти наибольшую длину отрезка, внутри которого не содержится ни одного корня уравнения. Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой. Среди отрезков  АВ  или  ВС  надо выбрать наибольший. Длина АВ равна   2 3   –    3   =    3 .   Длина  ВС  равна 7 3   –   2 3   =   5 3 . Наибольшая длина равна  5 3 .                                    Ответ:  5 3 . И)  Найти   наименьшую   длину   отрезка,   на   котором   есть   два   корня уравнения. Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой. Среди отрезков АВ или ВС надо выбрать наименьший. Длина   АВ   равна 2 3   –    3   =    3 .   Длина  ВС  равна 7 3   –   2 3   =   5 3 . Наименьшая длина равна   3 .                                        Ответ   3 . IV. Запись домашнего задания, его анализ:  повторить § 5,6,16,17,18 (формулы!)  V. Итог урока:   1.оценки.  2.Обратить внимание на теоретический материал в таблицах, используемых на уроке.