Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство СМИ

Изображение пользователя Кублик Галина Евгеньевна Кублик Галина Евгеньевна

Лекции по дисциплине ЕН.01 Математика, СПО. Раздел 3. Введение в анализ. Дифференциальные исчисления. Лекция № 4. Функции многих переменных. (Функции двух и нескольких переменных, способы задания, символика, область определения)

  • Лекции
  • docx
  • 22.12.2024
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал
Лекция по дисциплине ЕН.01 Математика для студентов СПО специальностей 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) и 38.02.06 Финансы
Иконка файла материала Лекция 4.4.docx

Раздел 3. Введение в анализ. Дифференциальные исчисления.

Лекция № 4. Функции многих переменных. (Функции двух и нескольких переменных, способы задания, символика, область определения.) (2часа)

План лекции.

  1. Понятие функции нескольких переменных.
  2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
  3. Дифференцирование функций.
  4. Дифференциалы функций нескольких переменных.
  5. Дифференцирование сложных функций.
  6. Дифференцирование неявных функций.
  7. Производная функции в данном направлении. Градиент функции.
  8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  9. Формула Тейлора.
  10. Экстремумы функции двух переменных.

Литература:

1.    Электронный ресурс. О3 Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов в 3 ч. Часть 3: учебник и практикум для среднего профессионального образования / под редакцией Н. Ш. Кремера. — 5-е изд., перераб. И доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2023. — 417 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-10171-3. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/442440 - п.9.1 - 9.16, стр.10.

Формируемые знания, компетенции:

ЛР 4. Проявляющий и демонстрирующий уважение к людям труда, осознающий ценность собственного труда. Стремящийся к формированию в сетевой среде личностно и профессионального конструктивного «цифрового следа».

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам.

З2.Основные источники информации и ресурсы для решения задач и проблем в профессиональном и/или социальном контексте;

З5.Структуру плана для решения задач;

З6.Порядок оценки результатов решения задач профессиональной деятельности.

Основные понятия:

Функция двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество  пар чисел.  При этом имеются в виду упорядоченные пары, т.е. две пары чисел  и   считается равными (совпадающими) тогда и только тогда, когда  и . Если в силу некоторого закона f каждой паре  ставится в соответствие одно и только одно число z, то говорят, что этим на множестве E определена функция  от двух переменных x и y.

Линией уровня функции  является такая кривая на плоскость XOY, в точках которой функция  сохраняет постоянное значение z=C, т.е. . При изменении значений C получается семейство кривых.

Поверхностью уровня  функции  называется поверхность  в пространстве XYZ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение C. Примером поверхностей уровня могут служить эквипотенциальные поверхности, где земной потенциал принимает постоянное значение. Например, эллипсоид Красовского, используемый в геодезии и картографии.

Функция  имеет в точке  предел, равный числу A, т.е.   при стремлении к точке , если для любого сколь угодно малого числасуществует число  такое, что  для всех точек M, удовлетворяющих неравенству .

Пусть точка  принадлежит области E определения функции и любая  – окрестность точки  содержит точки , отличные от . Функцияназывается непрерывной в точке , если     

Функцию двух переменныхможно дифференцировать по переменным x и y. Эти производные  называются частными производными и по определению

       и         , если эти пределы конечны.

Частными производными  второго порядка от функции нескольких переменных называются первые частные производные от уже вычисленных первых частных производных.

Например, для функции двух переменных  частные производные 2-го порядка имеют вид:

 или                     или

Смешанная производная: ; .

Главная линейная относительность  и  часть полного приращения  называется дифференциалом  функции .   - бесконечно малая высшего порядка относительно .

Пусть функция  дифференцируема, тогда производная функции в точке  в направлении , задаваемом, направляющими косинусами ,  имеет вид:

Градиентом функции   в точке   называется вектор с началом в точке  и координатами  и обозначается:

.

 

  1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

В предыдущих разделах курса высшей математики речь шла о функциях одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трёх и вообще n переменных.

            Функция двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество  пар чисел.  При этом имеются в виду упорядоченные пары, т.е. две пары чисел  и   считается равными (совпадающими) тогда и только тогда, когда  и . Если в силу некоторого закона f каждой паре  ставится в соответствие одно и только одно число z, то говорят, что этим на множестве E определена функция  от двух переменных x и y.

Функцию   от двух переменных можно изобразить в трёхмерном пространстве, где введена прямоугольная система  координат XYZ,  в виде геометрического места точек , проекция которых  в плоскости XOY принадлежит множеству определения E функции  . Область определения функции  в простейших случаях представляет собой либо всю плоскость, либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причём точки этой кривой границы области – могут принадлежать или не принадлежать области определения. Геометрическим изображением функции  в прямоугольной системе координат, т.е. графиком функции, является поверхность.

Пример 1:

Функция  геометрически представляет собой верхнюю полусферу радиуса R с областью определения E: , являющуюся кругом радиуса R в плоскости XOY.

Аналогичным образом можно определить функцию трёх переменных , определённую на множестве  , представляющим собой некоторую область в трёхмерном пространстве, её можно изобразить геометрически. А саму функцию геометрически интерпретировать невозможно.

Примером функции трёх переменных может служить, например, распределение плотности и температур на поверхности и внутри земного шара.

Если две функции  f и  определены на одном и том же множестве E, то можно определить сумму , разность , произведение  и частное . Естественным образом определяются также сложные функции  двух  переменных и большего числа переменных.

Частным значением функции   в точке называется значение . 

Пример 2:  Найти частное значение функции  в точке .

Решение:

Пример 3: Найти частное значение функции  в точке .

Решение:

Линией уровня функции  является такая кривая на плоскость XOY, в точках которой функция  сохраняет постоянное значение z=C, т.е. . При изменении значений C получается семейство кривых. Например, на географических картах линиями уровня являются линии равных высот рельефа.

Пример 4: Найти линии уровня функции .

Решение: Семейство линий  уровня имеет вид  и представляет концентрические окружности с центром в начале координат, радиус которых  изменяется в зависимости от задания C.

Поверхностью уровня  функции  называется поверхность  в пространстве XYZ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение C. Примером поверхностей уровня могут служить эквипотенциальные поверхности, где земной потенциал принимает постоянное значение. Например, эллипсоид Красовского, используемый в геодезии и картографии.

 

  1. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Определение 1. Функция  имеет в точке  предел, равный числу A, т.е.   при стремлении к точке , если для любого сколь угодно малого числасуществует число  такое, что  для всех точек M, удовлетворяющих неравенству .

При этом функция  определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

            Так, например, для функции двух переменных пределом функции в предельной точке , называется число A, т.е., если для  существует   такое, что   для всех точек , удовлетворяющих условию .

            Кстати, стремление к точке  плоскости XOY может осуществляться по любому пути, а это означает, что предел функции двух или большего числа переменных должен существовать при любых путях стремления к предельной точке.

            Определение непрерывности функции  нескольких переменных в точке  аналогично определимо непрерывности функции одной переменной.

Определение 2. Пусть точка  принадлежит области E определения функции и любая  – окрестность точки  содержит точки , отличные от . Функцияназывается непрерывной в точке , если     

            Точки в которых это не имеет места называются точками разрыва данной функции.

 

  1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.
  1. Частные производные первого порядка.

Функцию двух переменныхможно дифференцировать по переменным x и y. Эти производные  называются частными производными и по определению

       и         ,

если эти пределы конечны.

Частная производная  вычисляется по переменной x при фиксированном y, а  вычисляется по переменной y  при фиксированном x. При вычислении производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования, потому что, как видно из определения, техника вычисления проводится по правилу дифференцирования функции одной переменной, а остальные переменные считаются константами.

Совершенно аналогично вычисляются частные производные  функции трёх переменных .

Пример 1: Найти частные производные   функции .

Решение: При вычислении  считаем x переменной величиной, а y зафиксируем. Тогда

Аналогично при вычислении  переменной считается , а   – фиксированным, тогда

Пример 2: Вычислить производные   в точке   Функции .

Решение:

 

 

Вычисляем производные в точке 

 

       

  1. Частные производные высших порядков.

Частными производными  второго порядка от функции нескольких переменных называются первые частные производные от уже вычисленных первых частных производных.

Например, для функции двух переменных  частные производные 2-го порядка имеют вид:

 или

 или

Смешанная производная:

;

Другое обозначение смешанной производной .

Существует теорема: Если функция  определена в некоторой окрестности точки и в самой точке смешанные производные  и  непрерывны, то они равны.

Подобная теорема имеет место для функция любого числа переменных и для смешанных производных более высокого порядка.

Дифференцирование вторых производных даёт частные производные 3-го порядка:

Последовательным многократным дифференцированием можно получить частные производные любого порядка.

Пример: Вычислить частные производные второго порядка функции  в точке .

Решение: Сначала найдём частные производные 1-го порядка:

 

 

Частные производные 2-го порядка:

 

Вычислим эту производную в заданной точке :

 

Далее:

Значение производной в точке :

     

Смешанная производная: 

Её значение в точке:

           

           

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

  1. Дифференциал I-го порядка.

Функция  называется дифференцируемой в точке M если её полное приращение  в этой точке может быть представлено в виде .

Главная линейная относительность  и  часть полного приращения  называется дифференциалом  функции .   - бесконечно малая высшего порядка относительно

.

Если функция дифференцируема в точке M, то в этой точке существуют производные , и дифференциал функции имеет вид

.

            Для функции  дифференциал I-го порядка имеет вид:

Дифференциал I-го обладает свойством инвариантности, т.е. его форма не меняется в случае, если переменные сами являются функциями других переменных. Так, если  и , то

.

2.      Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом 2-го порядка называют дифференциал от дифференциала I-го порядка, т.е.

Аналогичным образом определяются   Имеет место символическая формула

Например:

Пример 1: Найти  и   функции , вычислить их в точке

Решение: Найдём частные производные I-го и 2-го порядков:

     ;    

;    

 (Кстати .

В общем виде дифференциалы имеют вид:

Вычислим производные в точке : ;   ;

 ;   ;   ;

И тогда

               

Пример 2: Найти дифференциал I-го порядка функции

Решение:

Найдём частные производные:

           

       

          

И тогда:  

 

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.

Задана функция , где переменные  и являются функциями переменных  и , т.e.  и, а Если функции  дифференцируемы, то:

.
Если воспользоваться свойством инвариантности дифференциала I-го порядка, то:

.

При дифференциалах  и  стоят выражения для частных производных сложной функции, а именно:

                                          

Пример:  где  

Найти и . Вычислить их в точке .

Решение:             

                             

                                   

  

 

Вычисление в точке:        

Тогда:   

Пусть задана функция , где  и . В этом случае , т.е. функция z является функцией одной переменной. Поэтому:

.

Отсюда можно получиться выражение для полной производной:

Пример: , где , . Найти . Вычислить при .

Решение:

 ;  ; 

 

  

Тогда: ;

Вычислим при :     

 

                  

 

            Пусть задана функция , где , тогда  - функция одной переменной. Полная производная:

Пример: Найти частную производную  и полную производную , если , а

Решение:   ;        ;      ;

                   .

Вычислим при   ;         тогда:

  

 

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ.

            Пусть функция  задана уравнением, не разрешенным относительно символа функции, т.е. уравнением вида. Будем считать, что функция – как функция трёх переменных,  дифференцируема. Тогда дифференциал и имеет вид:

            Выразив отсюда , проучим . А так как, с другой стороны, , то выражения для частных производных неявно заданной функции имеют вид:

;    .

            Если неявно задана функция одной переменной  уравнением , то производная  определяется аналогичной формулой   .

Пример 1: Найти значение производной  функции   в точке

Решение: В нашем случае

Находим частные производные  и  функции двух переменных :

Производная функции  

Её значение в точке :

Пример 2: Вычислить дифференциал  в точке  функции , заданной уравнением 

Решение: Найдём

                 

                 

Их значения в точке  соответственно

                     

                                                                     ;

И следовательно

7. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ.

Пусть функция  дифференцируема, тогда производная функции в точке  в направлении , задаваемом, направляющими косинусами ,  имеет вид:

            Градиентом функции   в точке   называется вектор с началом в точке  и координатами  и обозначается:

            Градиент функции связан с производной по направлению в одной и той же точке очевидным соотношением .

            В случае произвольного задания вектора направления  его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

.

Для функции двух переменных  выражения для производной по направлению и градиента имеют вид:

   

            Производная по направлению характеризует скорость возрастания функции в направлении вектора . Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная  в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное:

            Вектор  в данной точке  ортогонален к той поверхности уровня функции , которая проходит через точку .

Пример: Дана , точка  и  Найти производную по направлению в точке A в направлении вектора , градиент функции в точке B и его модуль.

Решение: Найдём частные производные функции  и вычислим их в точках : ;   ;   ;

;   ;   ; 

;   ;   ;

Найдём направляющие косинусы вектора  Т.к. , то  ,  ,

Тогда  

 

8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, содержащая в себе касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через точку.

 Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку  перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Поверхность в пространстве можно рассматривать как поверхность уровня функции , проходящую через точку  Вектор    в точке ортогонален поверхности, т.е. ортогонален касательной плоскости, проходящей через эту точку. Тогда вектор нормали .

В случае задания поверхности явным уравнением  к предыдущему случаю легко перейти, записав , и тогда вектор нормали   = . 

Уравнение  касательной плоскости в первом случае

или  во втором случае

Уравнения нормальной прямой или нормали соответственно

или    

Примеры.

1.   Написать уравнения нормали и касательной плоскости в точке  к поверхности    

Решение.    Частные производные функции .

    Их значения в точке

        

Уравнение нормали     

Уравнение касательной плоскости

2.      Написать уравнения нормали и касательной плоскости в точке c

     к поверхности 

Решение.     Аппликата   точки касания . Частные производные      ,

их значения в заданной точке     .

Уравнение  нормали         .

Касательная плоскость или

                                        

9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.

Если функция  дифференцируема в точке   и ее окрестности n раз, то для всякой точки   из окрестности точки   справедлива  формула Тейлора

Где    - остаточный член, который может быть записан в различной форме.

Если  , то формула называется формулой Маклорена.

Формула   называется  формулой линеаризации функции.

Так как  а   , то формула линеаризации  имеет вид

Пример.  Функцию  

1) разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов 2го порядка включительно;

2) линеаризовать ее в окрестности этой точки.

Решение.  1) Разложение до членов второго порядка включительно имеет вид

 

Вычислим  частные производные 1ого порядка в точке (1; 1):

 

Дифференциал первого порядка в этой точке

 

Вычислим  частные производные 2ого  порядка в точке (1;1):

         

Дифференциал  второго  порядка в этой точке

 

Подставляем найденные значения дифференциалов в выражение формулы Тейлора

3.      Линеаризованное выражение функции   в точке

  1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функция имеет в точке , принадлежащей области определения функции, максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что   для любых точек  из окрестности точки .

  1. Необходимые условия существования экстремума.

Если дифференцируемая функция  достигает в точке   экстремума, то в этой точке        или не существуют.

Такие точки называются стационарными или критическими.

  1. Достаточные  условия существования экстремума.

Пусть  - стационарная точка. Если функция дважды дифференцируема в окрестности точки и вторые частные производные непрерывны, то если

1)   дискриминант   в этой точке существует экстремум, причем минимум, если , и максимум, если   ;

2)   если , то экстремумов нет;

3)   если , то ответа на вопрос  нет, необходимо проделать более тонкие исследования, например геометрические.

Пример. Найти экстремумы функции  

Решение.

  1. Найдем стационарные точки из системы

Решение системы    

  1. В каждой из точек  и  проверим выполнение достаточных условий.

Частные производные второго порядка

a)  

Тогда  , следовательно, в точке экстремума нет.

b)

Тогда  , следовательно, в точке экстремум есть. Причём минимум, т.к.  .

Минимальное значение функции -1.

Вопросы для закрепления:

1.      Понятие функции нескольких переменных.

2.      Предел и непрерывность функции двух переменных.

3.      Дифференцирование функций.

4.      Дифференциалы функций нескольких переменных.

5.      Дифференцирование сложных функций.

6.      Дифференцирование неявных функций.

7.      Производная функции в данном направлении. Градиент функции.

8.      Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

9.      Формула Тейлора.

10.  Экстремумы функции двух переменных.

 

Для подготовки к самостоятельной работе:

1.                  Прочитать учебник О3: п. 9.1 – 9.11, стр. 10.

2.                  Выучить лекцию.

 

Скачано с www.znanio.ru

Раздел 3. Введение в анализ. Дифференциальные исчисления Пусть точка принадлежит области Функция геометрически представляет собой верхнюю полусферу радиуса Так, например, для функции двух переменных пределом функции в предельной точке , называется число Частные производные высших порядков Смешанная производная: Её значение в точке : 4 Кстати . В общем виде дифференциалы имеют вид: Тогда: Пусть задана функция , где и Если неявно задана функция одной переменной уравнением , то производная определяется аналогичной формулой Вектор в данной точке ортогонален к той поверхности уровня функции , которая проходит через точку Написать уравнения нормали и касательной плоскости в точке c к поверхности Подставляем найденные значения дифференциалов в выражение формулы Понятие функции нескольких переменных

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также