Конспект урока по алгебре на тему "Дополнительные углы" (10 класс)

Алгебра и начала матем.анализа, 10 класс Урок № 86 (19.02.2018) Тема урока: Формулы для дополнительных углов Цели урока: сформировать понимание о дополнительных углах, вывести формулы для дополнительных углов, научить применять данные формулы при решении упражнений, развивать логическое мышление, умение анализировать, действовать согласно алгоритма, развивать память, математическую грамотную речь, воспитывать интерес к предмету. Тип урока: комбинированный Ход урока: I.Организационный момент. II. Сообщение темы и целей урока. III. Актуализация опорных знаний и умений. IV. Изучение нового материала. В пункте 9.2 доказаны две формулы: cos ( π /2 −α )=sin α и sin ( π /2 −α )=cos α , которые очень часто используются в дальнейшем. Вывести совместно с учащимися данные формулы. V. Решение упражнений. Формирование навыков. Вывести формулы (у доски два человека № 9.19),  9.20, 9.21 (решение с комментариями) 9.22. Упростите выражение: а) sin ( 90°−13° ) ; б) sin ( −90°+24° ) . Решение. а) sin ( 90°−13° )=cos 13° ; б) sin ( −90°+24° )=−sin ( 90°−24° )=−cos 24° . 9.23. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 45° : е) sin 1859° ; ж) cos 444° . Решение. е) sin 1859°=sin ( 5⋅360°+59° )=sin 59°= sin ( 90°−31° )=co s 31° ; ж) cos 444°=cos ( 360°+84° )=cos 84°= cos ( 90°−6° )=sin 6° . 9.24. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего π 4 : e) cos  14π /5 ; ж) sin  24π /7 . Решение. е) cos  14π /5 =cos ( 2π+ 4π/ 5 )=cos  4π/ 5 =sin ( π /2 − 4π/ 5 )= sin ( − 3π/ 10 )= = −sin  3π/ 10 =−sin ( π/ 2 − π /5 )=−cos  π/ 5 . ж) sin  24π/7 =sin (4π− 4π /7 )=sin (− 4π /7 )=−sin  4π/ 7 =−cos (π/ 2 − 4 π/ 7 )=−cos (− π/ 14 )=−cos  π /14 VI. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа. VII. Итоги урока. Что нового узнали? Чему научились? Какие упражнения вызвали у вас наибольшие затруднения? Какие вопросы у вас остались невыясненными? Оценки за урок. VIII. Домашнее задание: п .9.2 № 9.20 (г,е), 9.21 (г,д), 9.22 (д) Алгебра и начала матем.анализа, 10 класс Урок № 87 (20.02.2018) Синус суммы и синус разности двух углов. Тема урока: Цели урока: Организовать повторение формул тригонометрии, создать условия для совершенствования навыков их применения при различных тригонометрических преобразованиях, вывести формулы для синуса разности и синуса суммы двух углов, научить применять данные формулы при решении упражнений, развивать логическое мышление, умение анализировать, действовать согласно алгоритма, развивать память, математическую грамотную речь, воспитывать интерес к предмету. Тип урока: комбинированный Ход урока: I.Организационный момент. II. Сообщение темы и целей урока. III. Актуализация опорных знаний и умений.      Проверка домашнего задания: п.9.2 № 9.20 (г,е), 9.21 (г,д), 9.22 (д) 1. Что называется синусом угла  ? 2. Что называется косинусом угла  3. Что называется тангенсом угла  ? 4. В каких единицах измеряется угол? ? 5.  это? ( );  это? ( );   это? ( );   это? ( );   это? ( );   э ). ); это? ( 6. Итак,  7. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс, котангенс? 8. Формулы  9. Какая точка получается при повороте точки (1;0) на углы  . .  и  + 2  радиан? Значит справедливы формулы (одна и та же): 10. Основное тригонометрическое тождество. 11. Как определяется знак перед корнем (знак выражения, стоящего в левой части  формулы)? 12. Формулы приведения (правило). Найди ошибку IV. Изучение нового материала. В учебнике на стр. 263 доказаны формулы синуса суммы и синуса разности двух углов: sin ( sin ( )=sin α cos β−cos α sin β , )=sin α cos β+cos α sin β . α−β α+β Обратим внимание на то, что в учебнике уже доказаны формулы для sin ( π+α ) , cos ( π+α ) (п. 7.4), cos ( π 2 −α ) и sin ( π 2 −α ) (п. 9.2). Только с доказательством формул для cos ( α±β ) и sin  ( α±β ) появилась возможность доказать формулы для cos  ( πk 2 ±α ) и sin ( πk 2 ±α ) для любого целого k. Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания) 2π к аргументу, то синус (косинус) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к синусу (косинусу) аргументов π /2 −α , π /2 +α , π−α , π+α , 3π /2 −α , 3π /2 +α , которые можно привести к аргументу α , применяя формулы синуса (косинуса) суммы (разности) двух углов. Выпишем все 12 формул для указанных выше шести аргументов: sin ( π /2 −α )=cos α,  sin ( π /2 +α )=cos α,  sin ( π−α )=sin α, cos ( π/ 2 −α )=sin α,  cos ( π/ 2 +α )=−sin α,  cos ( π−α )=−cos α, sin ( 3π/ 2 −α ) =−cos α,  sin ( 3π/ 2 +α )=−cos α,  sin ( π+α )=−sin α, cos ( 3π /2 −α )= −sin α,   cos ( 3π/ 2 +α )=sin α,  cos ( π+α )=−cos α. Все эти формулы можно воспроизводить с помощью следующего мнемонического правила: 1) Если первое слагаемое аргумента есть π 2 или 3π /2 , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента π , то менять синус (косинус) не надо. 2) В правой части формулы надо поставить знак «–», только если для острого угла α значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно. Эти формулы называют часто формулами приведения (аргумента к более простому виду). Но специального пункта «Формулы приведения» в учебнике нет. Однако стоит уделить внимание известному мнемоническому правилу, позволяющему правильно воспроизводить любую из формул приведения. Это правило отвечает на два вопроса: 1) менять или не менять наименование функции (синус на косинус, косинус на синус); 2) ставить или нет в правой части формулы знак «–»? Формулы приведения доказаны для любого угла α , достаточно определить знак левой части формулы для острого угла α и поставить его перед sin α или cos α в правой части формулы. Например, sin  ( 3π /2 −α )=−cos α ; cos ( 3π /2 +α )=sin α . V. Решение упражнений. Формирование навыков.  9.30. Упростите выражение: а) √3/ 2 sin α− 1/ 2 cos α ; б) √2 /2 ( cos α−sin α ) . При решении этого задания формулы (1) и (2) применяются для формирования умения преобразовывать тригонометрические выражения с помощью вспомогательного угла. Тот же прием используется при решении задания 9.33. Решение. а) √3 /2 sin α− 1 /2 cos α=cos  π /6 sin α−sin  π /6 cos α=sin ( α− π/ 6 ) ; б) √2/ 2 ( cos α−sin α )=cos  π /4 cos α−sin  π/ 4 sin α=cos ( π 4 +α ) . 9.33. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 5cos α+12sin α . Решение. Так как 5 /2 + 12 /2 =13 , то 5cos α+12sin α=13( 5 /13 cos  α+ 12 /13 sin α )=A . Так как ( 5/ 13 ) ^2 + ( 12/ 13 ) ^2 =1 , то найдется угол β , такой, что sin β= 5 /13 , а cos β= 12 /13 . Тогда A=13(sin β cos α+ sin α cos  β)=13sin ( β+α ) . Так как наибольшее и наименьшее значения выражения sin  ( β+α ) равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения выражения А равны 13 и –13 соответственно. VI. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа. VII. Итоги урока. Что нового узнали? Чему научились? Какие упражнения вызвали у вас наибольшие затруднения? Какие вопросы у вас остались невыясненными? Оценки за урок. VIII. Домашнее задание: п .9.3 карточки